小白都能看懂的95%置信区间

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1.点估计与区间估计

首先我们看看点估计的含义：
是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。点估计虽然给出了未知参数的估计值，但是未给出估计值的可靠程度，即估计值偏离未知参数真实值的程度。
接下来看下区间估计：
给定置信水平，根据估计值确定真实值可能出现的区间范围，该区间通常以估计值为中心，该区间则为置信区间。

2.中心极限定理与大数定理

中心极限定理：
在适当的条件下，大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛于正态分布。例如我们要计算全中国人的平均身高。如果每次取10000个身高作为样本，对应有一个样本均值。如果再从总体中重复抽取n多次10000个样本，就对应有n个样本均值。随着n增大，把所有样本均值画出来，得到的就是一个接近正太分布的曲线。
大数定理：
取样数趋近无穷时，样品平均值按概率收敛于期望值。抛硬币的次数越多，越接近正反各一半。

3.置信区间与置信水平

一般我们用中括号[a,b]表示样本估计总体平均值误差范围的区间。a、b的具体数值取决于你对于”该区间包含总体均值”这一结果的可信程度，因此[a,b]被称为置信区间。
一般来说，选定某一个置信区间，我们的目的是为了让”ab之间包含总体平均值”的结果有一特定的概率，这个概率就是所谓的置信水平。
例如我们最常用的95%置信水平，就是说做100次抽样，有95次的置信区间包含了总体均值。

4.标准差(standard deviation)与标准误差(standard error)

标准差是描述观察值(个体值)之间的变异程度（例如一个人打十次靶子的成绩，这时有一个平均数8，有一个反映他成绩稳定与否的标准差）；
标准误是描述样本均数的抽样误差（例如十次抽样，每次他成绩平均数（7,8,6,9,5,6,7,7,8,9）的标准差，也就是抽样分布的标准差）；
样本的标准误差为:

$$SE = \frac{s(样本标准差)} {\sqrt{n}}$$

5.如何理解95%的置信区间

以上面的统计身高为例，假设全国人民的身高服从正态分布：

$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

不断进行采样，假设样本的大小为n，则样本的均值为：

$$M = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$$

由大数定理与中心极限定理：

$$M \sim N(\mu, \sigma_1^2)$$
注意 $\sigma_1$的计算方法为第4部分提到的标准误差！

为什么常用95%的置信水平：

对照上图，用一句简单的话概括就是：
有95%的样本均值会落在2个(比较精确的值是1.96)标准误差范围内。

用数学公式描述就是：

$$P(\mu - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < M < \mu + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ) = 0.95$$

6.计算置信区间的套路

从上面的例子来看，计算置信区间的套路如下：
1.首先明确要求解的问题。比如我们的例子，就是想通过样本来估计全国人民身高的平均值。
2.求抽样样本的平均值与标准误差(standard error)。注意标准误差与标准差(standard deviation)不一样。
3.确定需要的置信水平。比如常用的95%的置信水平，这样可以保证样本的均值会落在总体平均值2个标准差得范围内。
4.查z表，求z值。
5.计算置信区间
a = 样本均值 - z*标准误差
b = 样本均值 + z*标准误差

用公式表示置信区间：

$$\overline x \pm z \frac{s}{\sqrt n}$$
其中， $\overline x$表示样本的均值， $z$值表示有多少标准差， $s$为样本的方差。