置信区间（confidence interval）

要理解置信区间，就要从统计学最基本最核心的思想去思考，那就是用样本估计总体。

置信水平(Confidence level)是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；
而置信区间（confidence interval）是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。
置信区间越大，置信水平越高。

一、置信区间的概念

1.1 置信区间

置信区间，就是一种区间估计

先来看看什么是点估计，什么是区间估计。

1.1.1 点估计与区间估计

以前很流行一种刮刮卡：

游戏规则是（假设只有一个大奖）：

• 大奖事先就固定好了，一定印在某一张刮刮卡上
• 买了刮刮卡之后，刮开就知道自己是否中奖

那么我们起码有两种策略来刮奖：

• 点估计：买一张，这就相当于你猜测这一张会中奖
• 区间估计：买一盒，这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖

很显然区间估计的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。

%%%
当我们做某个试验时，没有办法完全消除误差，这种情况下，我们会给结果一个可接受的误差范围，统计学上叫置信区间，置信区间是随机变量，它根据所抽取的样本决定，每抽取一个样本就会有一个置信区间。

置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。

置信区间又称估计区间，是用来估计参数的取值范围的。常见的52％－64％，或8－12，就是置信区间（估计区间）。

置信区间展现的是这个参数的真实值落在测量值（推测值）的周围的可信程度。

接下来，我们看看置信区间是如何进行区间估计的。

1.1.2 置信区间

我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。

1.1.2.1 上帝视角

对于人类真实的平均身高，我们是没有办法知道的，因为几乎不可能把每个人都统计到。

但这个数据肯定是真实存在的，我们可以说，上帝知道。

在这里我们引入了上帝视角，即上帝看到的人类身高的真实分布。

1.1.2.2 点估计

作为愚蠢的人类，我们只能在人群中抽样统计：


区间估计可以改进此问题。

1.1.2.3 置信区间

置信区间，提供了一种区间估计的方法。

但是，和点估计比较：

• 点估计和区间估计，都不知道哪个点或者哪个区间更好
• 但是，按照$95\%$置信区间构造出来的区间，如果我构造出100个这样的区间，其中大约有95个会包含$\mu$

这就好像用渔网捞鱼，我知道一百次网下去，大约会有95次网到我想要的鱼，但是我并不知道是不是现在这一网：

剩下的问题就是$95\%$置信区间是如何构造的。

1.1.2.4 $95\%$置信区间

1.1.2.5 总结

总结一下：

• 置信区间要求估计量是个常数
• $95\%$也被称为置信水平，是统计中的一个习惯，可以根据应用进行调整

1.2 置信水平

置信区间包含总体平均值的概率

又称 置信度

eg：95%的置信水平表示：抽取的100个样本，有100个置信区间，其中有95个置信区间可能包含总体的真实平均值。

1.2.1 是不是置信水平越高越好

这个问题就要看你需要统计的是什么？经济效益是什么？通常情况下，95%被作为常用的置信度，原理就在于3西格玛控制（在一些严格的领域甚至会用到6西格玛），此时已经有很高的置信度了，那在往上去，随着置信度的上升，置信区间的跨度也就越大，对参数估计的精度必定降低。点估计就一个值，精度高，但置信度则低，精度与置信度相互的取舍则要全由分析者自行选择了。

1.3 计算置信区间的步骤

第一步：求一个样本的均值

第二步：计算出抽样误差。

人们经过实践，通常认为调查:
100个样本的抽样误差为±10％
500个样本的抽样误差为±5％
1,200个样本时的抽样误差为±3％

第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。

1.4 举例说明

美国Gallup（盖洛普）公司就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国和日本三国共计3,500名消费者（每个国家约1,200名）分别进行了调查,调查结果：有55%的美国人认为美国产品质量好,而只有26%的德国人和17%的日本人持同样看法。抽样误差为±3％，置信水平为95％。则这三个国家消费者的置信区间分别为：

国别样本均值抽样误差置信区间

美国55%±3%52％－58％
德国26%±3％23％－29％
日本17%±3％14％－20％

二、关于置信区间的宽窄

窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。

假设全班考试的平均分数为65分，则

置信区间	间隔宽窄度表达的意思
0－100分	100，宽，等于什么也没告诉你
30－80分	50，较窄，你能估出大概的平均分了（55分）
60－70分	10，窄，你几乎能判定全班的平均分了（65分）

三、样本量对置信区间的影响

影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。
下面是经过实践计算的样本量与置信区间关系的变化表（假设置信水平相同）：

样本量	置信区间	间隔宽窄度
100	50%—70%	20，宽
800	56.2%－63.2%	7，较窄
1,600	57.5%—63%	5.5，较窄
3,200	58.5%—62%	3.5，更窄

由上表得出:

• 1、在置信水平相同的情况下，样本量越多，置信区间越窄。
• 2、置信区间变窄的速度不像样本量增加的速度那么快，也就是说并不是样本量增加一倍，置信区间也变窄一倍（实践证明，样本量要增加4倍，置信区间才能变窄一倍），所以当样本量达到一个量时（通常是1,200，如上例三个国家各抽了1,200个消费者），就不再增加样本了。

通过置信区间的计算公式来验证置信区间与样本量的关系

• 置信区间=样本的推断值±（可靠程度系数×）

从上述公式中可以看出：
在其他因素不变的情况下，样本量越多（大），置信区间越窄（小）。

四、置信水平对置信区间的影响

影响：在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽。

举例说明：美国做了一项对总统工作满意度的调查。在调查抽取的1,200人中，有60％的人赞扬了总统的工作，抽样误差为±3％，置信水平为95％；如果将抽样误差减少为±2.3％，置信水平降到为90％。则两组数字的情况比较如下：

抽样误差	置信水平	置信区间	间隔宽窄度
±3％	95％	60％±3％＝57％-63％	6宽
±2.3％	90％	60％±2.3％＝57.7％－62.3％	4.6窄

由上表得出:
在样本量相同的情况下（都是1,200人），置信水平越高(95％)，置信区间越宽。

五、样本量对置信水平的影响

影响：在置信区间不变的情况下，样本量越多，置信水平越高。
举例说明：

置信区间	样本量	置信水平
52％－58％	1,200	95%

(前面美国盖洛普公司的例子)

https://www.zhihu.com/question/26419030/answer/103956460
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38755140
https://zhuanlan.zhihu.com/p/110612323