小白都能看懂的“秋叶收藏集“解法

题目来源： Leetcode LCP 19. 秋叶收藏集

一.题目

小扣出去秋游，途中收集了一些红叶和黄叶，他利用这些叶子初步整理了一份秋叶收藏集 leaves， 字符串 leaves 仅包含小写字符 r 和 y， 其中字符 r 表示一片红叶，字符 y 表示一片黄叶。
出于美观整齐的考虑，小扣想要将收藏集中树叶的排列调整成「红、黄、红」三部分。每部分树叶数量可以不相等，但均需大于等于 1。每次调整操作，小扣可以将一片红叶替换成黄叶或者将一片黄叶替换成红叶。请问小扣最少需要多少次调整操作才能将秋叶收藏集调整完毕。

示例 1：
输入：leaves = "rrryyyrryyyrr"
输出：2
解释：调整两次，将中间的两片红叶替换成黄叶，得到 "rrryyyyyyyyrr"

示例 2：
输入：leaves = "ryr"
输出：0
解释：已符合要求，不需要额外操作

提示：

• 3 <= leaves.length <= 10^5
• leaves 中只包含字符 'r' 和字符 'y'

二.解题思路

初看此题可以确定需要将字符串分为三段：

• 阶段1：r段，此段的黄叶都要替换为红叶
• 阶段2：y段，此段的红叶都要替换为黄叶
• 阶段3：r段，此段的黄叶都要替换为红叶

而题解即为三段替换次数总和的最小值，那么如何确定这个最小值呢？有分析可知，后一阶段的决策要取决于前一阶段，因此可以考虑使用动态规划。具体做法是定义一个$3\times length$的数组$dp$，其中$length$为字符串串长，结构示意图如下：

其中$dp[i][0],dp[i][1],dp[i][2]$的含义是第$i$片叶子处于阶段$1/2/3$时处理所需的最小步骤数，由此可知最终结果为$dp[n-1][2]$。因此现在问题就转变为了确定$dp$表各个阶段的值，步骤为：

1. 确定阶段1
2. 确定阶段2
3. 确定阶段3

2.1 阶段一

首先，需要确定阶段1，对于该阶段需要先确认$dp[0][0]$的值，由题意可得字符串leaves的第一个字符必须为'r'，因此可得：
$$dp[0][0]=\{\begin{array}{ll}0& leaves[0]={=}^{\prime }{r}^{\prime }\\ 1& leaves[0]={=}^{\prime }{y}^{\prime }\end{array}$$
而对于其他处于阶段1的元素$dp[i][0]$，其递推计算公式为：
$$dp[i][0]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][0]& leaves[i]={=}^{\prime }{r}^{\prime }\\ dp[i-1][0]+1& leaves[i]={=}^{\prime }{y}^{\prime }\end{array}$$

2.2 阶段二

对于阶段2，其应从字符串leaves的第二个字符开始(前面至少一片红叶)，其初值$dp[1][1]$的计算如下：
$$dp[1][1]=\{\begin{array}{ll}dp[0][0]+1& leaves[1]={=}^{\prime }{r}^{\prime }\\ dp[0][0]& leaves[1]={=}^{\prime }{y}^{\prime }\end{array}$$
而对于阶段2的其他元素$dp[i][1]$，由于它的前一个字符可能来自阶段2，也可能来自阶段1，因此其递推公式如下：
$$dp[i][1]=\{\begin{array}{ll}min(dp[i-1][0],dp[i-1][1])+1& leaves[i]={=}^{\prime }{r}^{\prime }\\ min(dp[i-1][0],dp[i-1][1])& leaves[i]={=}^{\prime }{y}^{\prime }\end{array}$$

2.3 阶段三

对于阶段3，其应从字符串leaves的第三个字符开始（前面至少一红一黄），因此其初值$dp[2][2]$计算公式如下：
$$dp[2][2]=\{\begin{array}{ll}dp[1][1]& leaves[2]={=}^{\prime }{r}^{\prime }\\ dp[1][1]+1& leaves[2]={=}^{\prime }{y}^{\prime }\end{array}$$
而对于阶段2的其他元素$dp[i][2]$，由于它的前一个字符可能来自阶段2，也可能来自阶段3，因此其递推公式如下：
$$dp[i][2]=\{\begin{array}{ll}min(dp[i-1][1],dp[i-1][2])& leaves[i]={=}^{\prime }{r}^{\prime }\\ min(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+1& leaves[i]={=}^{\prime }{y}^{\prime }\end{array}$$

三.算法动态运行过程

这里以题目中的示例leaves = "rrryyyrryyyrr"为例进行动态演示，下面是全过程：

阶段1初值设定

阶段1其他值计算

阶段2初值设定

阶段2其他值计算

阶段3初值设定

阶段3其他值计算

四.示例代码

from typing import List

class Solution:
    def minimumOperations(self, leaves: str) -> int:
        n = len(leaves)
        dp = [[0, 0, 0] for _ in range(n)]
        #阶段1初值计算
        dp[0][0] = (1 if leaves[0] == 'y' else 0)
        #阶段1其他值计算
        for i in range(1, n):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + (1 if leaves[i] == 'y' else 0)

        #阶段2初值计算
        dp[1][1] = dp[0][0] + (1 if leaves[1] == 'r' else 0)
        #阶段2其他值计算
        for i in range(2,n):
            dp[i][1] = min(dp[i-1][0],dp[i-1][1]) + (1 if leaves[i] == 'r' else 0)
        
        #阶段3初值计算
        dp[2][2] = dp[1][1] + (1 if leaves[2] == 'y' else 0)
        #阶段3其他值计算
        for i in range(3,n):
            dp[i][2] = min(dp[i-1][1],dp[i-1][2]) + (1 if leaves[i] == 'y' else 0)
        
        return dp[n - 1][2]

s = Solution()
leaves = "rrryyyrryyyrr"
print(s.minimumOperations(leaves))
"""
2
"""

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