模糊集合原理

在计算机编程的时候，常常会使用一种“干脆的”集合。在判断某件事，或者某个变量的时候，常常使用的是布尔值（因为某件事，不是真就是假）。通过一个阈值，去判断这件事，而这样的一个阈值的设定，会产生一个问题。还是使用《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods书中的例子，看以下两个图。

当一个人的年龄超过20岁，那么这个人就不再属于年轻人范畴。这样来说，未免有些太过“残忍”，毕竟，20多岁的人还是“比较”年轻的。这里就出现了一个模糊的定义，“比较”年轻，这个集合既不属于年轻，也不属于非年轻，也就是其实年轻与非年轻之间的过度不应该是干脆的，而应该是渐进的过度。

定义Z为对象集，其中，z表示Z中的一类元素（比如z表示年龄）。Z中的一个模糊集合A主要由一个隶属度(Degree of membership)来表示。对此，模糊集合A是一个由z值和隶属度函数组成的集合，即

当的时候，所有的z是模糊集合A的完全成员；当的时候，所有的z都不是模糊集合A的成员，当的值介于0和1之间，那么此时的z称为模糊集合A的不完全成员。

下面，还有几个重要的性质。

对于所有的，模糊集合A的补集(NOT)，其隶属度函数如下所示。

对于所有的，模糊集合A与模糊集合B的并集(OR)U，其隶属度函数如下所示。

对于所有的，模糊集合A与模糊集合B的交集(AND)I，其隶属度函数如下所示。

到这里，其实已经可以用模糊集合来做一些事情了。对于一个问题的处理，在使用模糊集合来解决的时候，我们可以参考以下步骤。首先，需要将输入量折算为隶属度，这个过程叫做“模糊化”。然后，使用得到的隶属度来进行计算，或者判断，或者其他更复杂的算法。最后，需要将隶属度再次折算为输出，这个过程称为“去模糊”或者“反模糊”。

模糊集合为处理不严密信息提供了一种形式。将模糊与模糊隶属度函数之间的关联变量称为fuzification；通常用IF-THEN规则描述有关问题的知识。下面我们寻找一种方法，使用输入和问题的先验知识建立模糊系统的输出。

　　　通常应用实现步骤为：

　（１）模糊输入：将IF-THEN规则描述的先验知识映射到[0,1]区间，找到每个标量对应的模糊值。

　（２）执行任何需要的模糊逻辑操作（AND、OR、NOT）,将所有输出组合到一起；利用一种推断方法，每个规则得到单一输出。

　（３）应用聚合方法将所有规则的输出组合到一起，得到单个的输出模糊集合。

　（４）对最后的输出去模糊化，得到“干脆”标量输出。（可以求模糊集的重心）

一、使用模糊集合进行灰度变换

使用模糊集合来进行灰度变换，从而增强图像。首先可以在常理下考虑一下，一般的对于动态范围较小的图像，我们一般的处理的方法是灰度拉升，或者直方图均衡。

这两种的方法的本质就是，让原图较暗的像素更加暗，让原图较亮的像素更加亮。那么，我们规定如下模糊规则

R1：IF 一个像素是暗的，THEN 让这个像素更暗；

R2：IF 一个像素是灰的，THEN 让他保持是灰的；

R3：IF 一个像素是亮的，THEN 让这个像素更亮；

这个规则就代表了我们的处理方法。当然，IF条件中的像素是暗的(或者灰的，或者是亮的)，这个概念都是模糊的。同理THEN结论中的更暗(或者保持灰的，或者更亮)亦是模糊的。为此，我们需要确立一个隶属度函数，从而来判断一个像素对于三个条件的隶属度。

实际上，隶属度函数的确定是很复杂的，然而，这里我们则尽量想得简单一点。首先，一个像素是暗的(模糊)，那么其隶属度函数大致的形状是，

- 在低于某个值的时候域隶属度为1，
- 在灰度越过某一个值之后，其隶属度为0，
- 当然。然后与之间进行线性插值，那么，我们就可以得到R1的隶属度函数了。同理，R2与R3也是一样的。

为了简单起见，我们将THEN结论中的更暗设置为较为简单的函数。

- 为了让这个像素更黑，其输出都为0。同理，
- 为了使这个像素保持灰的，我们将其输出设为0.5，
- 为了使得一个像素更亮，我们将其设置为1。

根据以上讨论，我们所决定的隶属度函数如下所示。

使用输入的隶属度函数，可以得到模糊化后的数据。

对于一个像素，需要根据规则R1，R2与R3，计算出所对应的隶属度，与，这个过程，称之为模糊化。将一个输入量模糊化，所使用的函数(或者说是对应关系)，称之为知识库。

模糊化之后，得到一个像素所对应的三个隶属度，与之后，就可以进行反模糊化了。反模糊化的算法很多，这里使用简单的重心法去进行计算。

其中Vd，Vg，Vb为输出的单一值，对于一个像素，需要根据规则R1，R2与R3，计算出所对应的隶属度，与。得到一个权值衡量后的成熟度估计值，最为输出值。到此，就得到了输出，整个算法的效果如下图所示。

实例：

根据以上算法，所得到的结果还是比较理想的。从灰度直方图来看，处理后的图像的直方图的动态范围得到了扩展，所得的图像也比原图更加的明亮清晰，图片的一些细节处理的较为妥当。所使用的Matlab代码如下所示。

function [drak,gray,brig] = Fuzzy_Knowledge(Intensity)
 
  if(Intensity <= 0.27) drak = double(1); 
  elseif(Intensity >= 0.5) drak = double(0);
  else drak = (0.5 - double(Intensity))/(0.22);
  end    
    
  if(Intensity >= 0.72) brig = double(1); 
  elseif(Intensity <= 0.5) brig = double(0);   
  else brig = double((double(Intensity) - 0.5)/0.22);
  end
  
  if(Intensity >= 0.72) gray = double(0); 
  elseif(Intensity <= 0.27) gray = double(0);
  elseif(Intensity <= 0.5) gray = double((double(Intensity) - 0.27)/0.22);
  else gray = double((0.72 - double(Intensity))/0.22);
  end
  
end
close all;
clear all;
clc;
 
%% ---------Using Fuzzy for intensity transfromations---------------
f = imread('einstein_orig.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);
 
[M,N]=size(f);
g = zeros (M,N);
 
 for x = 1:1:M
     for y = 1:1:N
         [drak,gray,brig] = Fuzzy_Knowledge(f(x,y));
         g(x,y) = ((drak * 0) + (gray * 0.5) + (brig * 1))/(drak + gray + brig); 
     end
 end
 
figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');
 
subplot(1,2,2);
imshow(g,[0 1]);
xlabel('b).Result of fuzzy');
 
figure();
subplot(1,2,1);
h = imhist(f)/(M*N);
bar(0:1/255:1,h);
axis([0 1 0 .2]),grid;
xlabel('c).The Histogram of a');
 
subplot(1,2,2);
h = imhist(g)/(M*N);
bar(0:1/255:1,h);
axis([0 1 0 .2]),grid;
xlabel('d).The Histogram of b');
 
%%
test = 0:1/255:1;
 for x = 1:1:256
         [drak(x),gray(x),brig(x)] = Fuzzy_Knowledge(test(x));
 end
 
figure();
subplot(1,2,1);
plot(test,drak,test,gray,test,brig); 
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
legend('drak','gray','brig');
xlabel('a).Input memberchip functions for fuzzy');
 
 
subplot(1,2,2);
x1 = [0,0];y1 = [0,1];
x2 = [0.5,0.5];y2 = [0,1];
x3 = [1,1];y3 = [0,1];
plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3); 
axis([-0.1,1.1,0,1.2]),grid;
axis square;
legend('drak','gray','brig');
xlabel('b).Output memberchip functions for fuzzy');

将隶属度函数重叠起来看，理解的重点：

关键就在这里，自定义了一个标准，这就是精髓。

模糊集图像增强算法有很多。归纳主要为以下步骤：

第一步、设计隶属度函数将图像从空间域变换到模糊集域。
第二步、设计模糊增强算子，在模糊集域对图像进行处理。
第三步、根据第一步的隶属度函数重新将图像从模糊集域变换到空间域。

在此根据[1]所述的隶属度函数和模糊增强算子，进行图像增强实现，代码如下所示：

clear all;
close all;
clc;
 
I = double(imread('test.jpg'));
imshow(I);
[m,n] = size(I);
 
Fe =1;
Fd =120;
 
xmax=max(max(I));
u =(1+(xmax-I)/Fd).^(-Fe);
 
for i =1:m
    for j =1:n
        if u(i,j)<0.5
            u(i,j) =2*u(i,j)^2;
        else
            u(i,j) =1-2*(1-u(i,j))^2;
        end
    end
end
 
I = xmax-Fd.*(u.^(-1/Fe)-1);
 
figure,imshow(uint8(I));

实验结果：

原始图像：模糊集图像增强实现效果图

二、使用模糊集合进行边缘检测

为了更深刻的理解模糊集合的性质，可以将规则的难度加深一些。若想进行一幅图像的边缘检测，在空间域上的想法是：“如果一个像素是处在平滑区域的，那么使得这个像素为亮，否则，则使得这个像素为暗。”为了使得这个算法在模糊集合的概念可以用，我们可以考虑使用灰度差来表示像素的平滑程度。

如上图所示，我们将一个像素8个相邻的像素，各减去这个像素的值，即。我们可以得到如上图右侧的结果。基与此，可以推出以下规则。

注意，上述的zero，white与black都是模糊的概念。同样的，根据这三个规则模糊化之后，用重心法去模糊。同时，我们还希望，当两个点的灰度很接近的时候，去模糊能给予一个很强的响应，将灰度拉至很高(很亮)。所以，我们的输入隶属度函数需要再0处有一个较大的隶属度，这里，我使用了高斯分布的一部分。其输出隶属度函数，也不是像上面的例子一样简单，我希望若是白色的隶属度很高，其输出的灰度值就越高(越亮)，反之则越低(越暗)。根据上述，我指定的输入输出隶属度函数如下所示。

以上规则还出现了几个比较需要注意的地方。我们制定规则的时候，使用了AND，将两个条件相连了。这里在模糊集合里面，就相当于两个模糊集合的交集。首先，应该依次算出两个条件所对应的隶属度的值，然后，取最小值即可，如下所示。

其次，这里还出现了ELSE语句，这里，可以视为以上四个条件的补集的交集(有点拗口)。其实看数学式的话，应该很好明白的。

到这里，我们就可以顺利的算出上述五个条件的隶属度，然后同样的，使用最简单的重心法，就可以得到结果了。结果如下所示。

从结果可以看出来，根据整定的规则，我们已经很好的得到了图像的边缘。在这幅图像上再次进行加工，二值化什么的，就比较容易了。所得到的结果图像还是比较清晰的。以下是Matlab代码。

function [W1,W2,W3,W4,B] = Fuzzy_Knowledge_Filters(Intensity)
 
for x = 1:1:3
   for y = 1:1:3
       if((Intensity(x,y) <= 0.2) &&(Intensity(x,y) >= -0.2))
           Intensity(x,y) = exp(-20*Intensity(x,y).*Intensity(x,y));
       else Intensity(x,y) = 0;
       end
   end
end
 
W1 = min(Intensity(1,2),Intensity(2,3));
W2 = min(Intensity(2,3),Intensity(3,2));
W3 = min(Intensity(3,2),Intensity(2,1));
W4 = min(Intensity(2,1),Intensity(1,2));
B = min(min(1-W1,1-W2),min(1-W3,1-W4));
  
end
%% ---------Using Fuzzy for Spatial Filters---------------
close all;
clear all;
clc;
 
f = imread('headCT_Vandy.tif');
f = mat2gray(f,[0 255]);
 
[M,N]=size(f);
f_Ex = zeros(M+2,N+2);
 
for x = 1:1:M
    for y = 1:1:N
        f_Ex(x+1,y+1) = f(x,y);
    end
end
 
z = zeros (3,3);
g = zeros (M+2,N+2);
for x = 2:1:M+1
    for y = 2:1:N+1
        z(1,1) = f_Ex(x-1,y-1) - f_Ex(x,y);
        z(1,2) = f_Ex(x-1,y) - f_Ex(x,y);
        z(1,3) = f_Ex(x-1,y+1) - f_Ex(x,y);
        
        z(2,1) = f_Ex(x,y-1) - f_Ex(x,y);
        z(2,2) = f_Ex(x,y) - f_Ex(x,y);
        z(2,3) = f_Ex(x,y+1) - f_Ex(x,y);
        
        z(3,1) = f_Ex(x+1,y-1) - f_Ex(x,y);
        z(3,2) = f_Ex(x+1,y) - f_Ex(x,y);
        z(3,3) = f_Ex(x+1,y+1) - f_Ex(x,y);
        
        [W1,W2,W3,W4,B] = Fuzzy_Knowledge_Filters(z);
        
        V1 = 0.8 * W1 + 0.2;
        V2 = 0.8 * W2 + 0.2;
        V3 = 0.8 * W3 + 0.2;
        V4 = 0.8 * W4 + 0.2;
        V5 = 0.8 - (0.8 * B);
        
        g(x,y) = ((W1*V1) + (W2*V2) + (W3*V3) + (W4*V4) + (B*V5))/(W1+W2+W3+W4+B); 
        
    end
end
 
figure();
subplot(1,2,1);
imshow(f,[0 1]);
xlabel('a).Original Image');
 
subplot(1,2,2);
imshow(g,[0 1]);
xlabel('b).Result of fuzzy');
 
 
%%
figure();
subplot(1,2,1);
x=-0.2:1/255:0.2;
y=1/sqrt(2*pi)*exp(-20*x.*x);
y = y/max(y);
x = -1:1/255:1;
y = [zeros(1,204) y zeros(1,204)];
plot(x,y); 
axis([-1,1,0,1]),grid;
axis square;
xlabel('a).Input memberchip functions for fuzzy');
 
subplot(1,2,2);
x1 = [0,0.2,1];y1 = [0,0,1];
x2 = [0,0.8,1];y2 = [1,0,0];
plot(x1,y1,x2,y2); 
axis([0,1,0,1]),grid;
axis square;
legend('WH','BL');
xlabel('b).Output memberchip functions for fuzzy');

转自：

https://blog.csdn.net/sysu_stone/article/details/10514963

https://blog.csdn.net/songzitea/article/details/18186013

https://blog.csdn.net/zhoufan900428/article/details/13502329

opencv笔记（三十二）——将模糊集合用于灰度变换和边缘检测