最近在看ECC的加密算法，该算法的安全性基于“求离散对数”的困难。下面主要介绍一下ECC在实现倍点过程中的算法，分为两部分：一是基于二进数的计算方法，二是基于ＮＡＦ序列的计算方法。
基于二进数的计算方法中，分为两种遍历方式，一是从左向右遍历，二是从右向左遍历，该算法类似模幂运算中对于其指数的处理方式。具体算法如下。
ECC中计算倍乘的算法：现计算kP,k=(kt-1,kt-2,.....,k1,k0),PE(Fq)
算法1：从左向右遍历
输入：k=(kt-1,kt-2,.....,k1,k0),PE(Fq)
输出：Q=k P
Q←０（这里０指的是群运算中的单位元）
for i=0 to t-1
begin
if ki=1 Q=Q+P
P=2P
end
return Q
算法2：从右向左遍历
输入：k=(kt-1,kt-2,.....,k1,k0),PE(Fq)
输出：Q=k P
Q←０（这里０指的是群运算中的单位元）
for i=t-1 to 0
begin
Q=2Q
if ki=1 Q=Q+P
end
return Q
基于NAF序列计算点乘运算中也分为两种情况，一种是基于NAF2，一种是基于ＮＡＦｗ，下面先介绍一下ＮＡＦ的定义，然后再介绍一下基于ＮＡＦ计算点乘的算法。
标量的非相邻表示称为NAF
定义：一个正整数k的非相邻表示型是表达式,其中,并且没有两个连续的数字ki是非零的,NAF的长度是l.
NAF的性质：
1 k有唯一的NAF,并记作NAF(k)。
2 NAF(k)在k 的所有带符号表示中具有最少的非零位。
3 NAF(k)的长度最多比k的二进制表示的长度大1.
4 若NAF(k)的长度是l,则2l/3<k<2(l+1)/3.
5 所有长度为l的NAF中非零数字的平均密度约为1/3.
计算一个正整数的NAF，算法如下：
输入：一个正整数k
输出：NAF序列
1. i←0
2. while (k≥1)
3. if(k mod 2==1) ki←2-(k mod 4),k ←k-ki
4. else ki=0
5. k ←k/2,i ←i+1
6. return (ki-1,ki-2,....,k0)
用二进制NAF的方法计算点乘
输入：一个正整数k, PE(Fq)
输出：kP
1. NAF(k)=
2. Q←０（这里０指的是群运算中的单位元）
3. for i=l-1 to 0
4. begin
5. Q←2Q
6. if ki=1 Q ←Q+P
7. if ki=-1 Q ←Q-P
8. return Q
窗口方法：即基于ＮＡＦｗ的计算方法。
可以利用额外的存储器，采用一次处理k的w位的窗口方法，可以将算法的运行时间减小。
定义：令w≥2是正整数。正整数k的宽度为w的NAF是表达式，其中每一个非零系数ki都是奇数，，，并且任何连续w个数字中最多1位非零。宽度为w的NAF的长度是l。
宽度为w的NAF的性质：
1. k有唯一的宽度NAF，记作NAFw(k)
2. NAF2(k)=NAF
3. NAFw(k)的长度最多比k的二进制表示的长度大1。
4. 在所有长度为l的宽度w的NAF中，平均非零数字的密度近似为1/w+1
计算一个正整数的窗口宽度w的NAF
输入：窗口宽度为w，一个正整数k
输出：NAFw(k)
1. i←0
2. 当k≥1时，重复执行
3. if(k mod 2 ==1) then ki ←k mod 2w,k ←k- ki
4. else ki ←0
5. k← k/2,i ←i+1
6. return (ki-1,ki-2,.....,k1,k0)
计算点乘的窗口NAF方法
输入：窗口宽度w,一个正整数k, PE(Fq)
输出：kP
1. 计算NAFw(k)
2. 对于，计算Pi=i P
3. Q←０（这里０指的是群运算中的单位元）
4. for i=l-1 to 0
5. Q ←2Q
6. if ki≠0
7. if ki>0 Q ←Q+Pi
8. else Q← Q-Pi
9. return Q