已知三点求平面的法向量 —— 两种方法

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最近学图形学时遇到了这个问题，PPT 给的大概是一个通过线性代数的方法求的，有点看不懂。加上线性代数早就忘光了，更加是一脸茫然。但是这个知识点在高中讲过，自己却怎么也记不起来了，直到今天突然记起来了，特此记录一下。

问题描述

已知三点 $P_1(x_1, y_1, y_1)，P_2(x_2, y_2, y_2)，P_3(x_3, y_3, y_3)$。要求求出这三个点构成平面的法向量。

高中知识

我们知道法向量是和平面垂直的，因此法向量也和该平面上任意一条向量垂直，即点乘积为 0。

利用这个性质，我们可以构造两个方程，此时我们不妨设法向量 $\overrightarrow{n}=(x, y, z)$。
$\overrightarrow{n} ・ \overrightarrow{P_1P_2} =0\\ \overrightarrow{n} ・ \overrightarrow{P_1P_3} = 0$
将 $P_1P_2P_3$ 坐标带入即可。
$x(x_1-x_2)+y(y_1-y_2)+z(z_1-z_2) = 0 \\ x(x_1-x_3)+y(y_1-y_3)+z(z_1-z_3) = 0$
然后我们不妨假设 x=1, 这样即可求出 x y z（三个方程三个未知量）。
p.s 这样求出的法向量可能会有分数，可以自行改造一下。

大学知识¹

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1. https://blog.csdn.net/zhouschina/article/details/8784908 ↩︎