| 问题主题：区间调度问题 |
| 问题描述： 有n项工作，每项工作分别在si开始，ti结束。对每项工作，你都可以选择参加或不参加，但选择了参加某项工作就必须至始至终参加全程参与，即参与工作的时间段不能有重叠(即使开始的时间和结束的时间重叠都不行)。 限制条件： 1<=n<=100000 1<=si<=ti,=109 |
| 样例： 输入 n=5 s={1,2,4,6,8} T={3,5,7,9,10} 输出 3(选择工作1, 3, 5) |
下面有几种最容易想到的贪心策略：
- 在可选的工作(也就是和目前已选的工作都不重叠的工作)中，每次选取开始时间最早的工作。
- 在可选的工作，每次都选取结束时间最早的工作。
- 在可选的工作，每次选取最短的工作。
- 在可选的工作，每次选取与最少可选工作重叠的工作。
其中，第二个贪心策略是正确的。
其余的在白书上 都是有反例的。
证明：
显然，该算法最后选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。设fi为该算法所接受的第i个区间的右端点坐标，gi为某最优解中的第i个区间的右端点坐标。
命题1.1 当i>=1时，该算法所接受的第i个区间的右端点坐标fi<=某最优解中的第i个区间的右端点坐标gi。
该命题可以运用数学归纳法来证明。对于i=1，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。令i>1，假定论断对i-1为真，即。则最优解的第i个可选区间所组成的集合包含于执行该算法时第i个可选区间所组成的集合；而当算法选择第i个区间时，选的是在可选区间中右端点坐标最小的一个，所以有
。证毕。
设该算法选出了k个区间，而最优解选出了m个区间。
命题1.2 最优解选出的区间数量m=该算法选出的区间数量k。
假设m>k，根据命题1.1，有。由于m>k，必然存在某区间，在gk之后开始，故也在fk之后开始。而该算法一定不会在选了第k个区间后停止，还会选择更多的区间，产生矛盾。所以m<=k,又因为m是最优解选出区间个数，所以m=k。
综上所述，算法选出的区间是最优解。
代码赘述. 将工作按照结束时间由大到小排序，每一次都保存最后一个工作的结束时间 t ，然后判断下一个工作的开始时间与 t 的大小，再确定是否能够选择。