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假设有 m×nm×n 的矩阵 AA ，那么 SVD 就是要找到如下式的这么一个分解，将 AA 分解为 3 个矩阵的乘积：

Am×n=Um×mΣm×nVTn×nAm×n=Um×mΣm×nVn×nT

其中，UU 和 VV 都是正交矩阵 （Orthogonal Matrix），在复数域内的话就是酉矩阵（Unitary Matrix），即

UTU=Em×mUTU=Em×m

VTV=En×nVTV=En×n

换句话说，就是说 UU 的转置等于 UU 的逆，VV 的转置等于 VV 的逆：

UT=U−1UT=U−1

VT=V−1VT=V−1

而 ΣΣ 就是一个非负实对角矩阵。

那么 UU 和 VV 以及 ΣΣ 是如何构成的呢？

求解

UU 和 VV 的列分别叫做 AA 的 左奇异向量（left-singular vectors）和 右奇异向量（right-singular vectors），ΣΣ 的对角线上的值叫做 AA 的奇异值（singular values）。

其实整个求解 SVD 的过程就是求解这 3 个矩阵的过程，而求解这 3 个矩阵的过程就是求解特征值和特征向量的过程，问题就在于 求谁的特征值和特征向量。

UU 的列由 AATAAT 的单位化过的特征向量构成
VV 的列由 ATAATA 的单位化过的特征向量构成
ΣΣ 的对角元素来源于 AATAAT 或 ATAATA 的特征值的平方根，并且是按从大到小的顺序排列的

知道了这些，那么求解 SVD 的步骤就显而易见了：

求 AATAAT 的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成 UU
求 ATAATA 的特征值和特征向量，用单位化的特征向量构成 VV
将 AATAAT 或者 ATAATA 的特征值求平方根，然后构成 ΣΣ

举例

假设

A=⎛⎝⎜⎜⎜21004300⎞⎠⎟⎟⎟A=(24130000)

那么可以计算得到

AAT=⎛⎝⎜⎜⎜20140014100000000000⎞⎠⎟⎟⎟AAT=(20140014100000000000)

接下来就是求这个矩阵的特征值和特征向量了

AATx=λxAATx=λx

(AAT−λE)x=0(AAT−λE)x=0

要想该方程组有非零解（即非零特征值），那么系数矩阵 AAT−λEAAT−λE 的行列式必须为 0

∣∣∣∣∣∣20−λ14001410−λ0000−λ0000−λ∣∣∣∣∣∣=0|20−λ14001410−λ0000−λ0000−λ|=0

求解这个行列式我就不再赘述了，这个直接使用行列式展开定理就可以了，可以得到 λ1≈29.86606875，λ2≈0.13393125，λ3=λ4=0λ1≈29.86606875，λ2≈0.13393125，λ3=λ4=0，有 4 个特征值，因为特征多项式 |AAT−λE||AAT−λE| 是一个 4 次多项式。对应的单位化过的特征向量为

⎛⎝⎜⎜⎜0.817415560.5760484400−0.576048440.817415560000100001⎞⎠⎟⎟⎟(0.81741556−0.57604844000.576048440.817415560000100001)

这就是矩阵 UU 了。

同样的过程求解 ATAATA 的特征值和特征向量，求得 λ1≈0.13393125，λ2≈29.86606875λ1≈0.13393125，λ2≈29.86606875，将特征值降序排列后对应的单位化过的特征向量为

(0.404553580.9145143−0.91451430.40455358)(0.40455358−0.91451430.91451430.40455358)

这就是矩阵 VV 了。

而矩阵 ΣΣ 根据上面说的为特征值的平方根构成的对角矩阵

⎛⎝⎜⎜⎜5.464985700000.3659661900⎞⎠⎟⎟⎟(5.4649857000.365966190000)

到此，SVD 分解就结束了，原来的矩阵 AA 就被分解成了 3 个矩阵的乘积。

A4×2=U4×4Σ4×2VT2×2A4×2=U4×4Σ4×2V2×2T

⎛⎝⎜⎜⎜21004300⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜0.817415560.5760484400−0.576048440.817415560000100001⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜5.464985700000.3659661900⎞⎠⎟⎟⎟(0.404553580.9145143−0.91451430.40455358)T(24130000)=(0.81741556−0.57604844000.576048440.817415560000100001)(5.4649857000.365966190000)(0.40455358−0.91451430.91451430.40455358)T

Numpy 实现

Python 中可以使用 numpy 包的 linalg.svd() 来求解 SVD。

import numpy as np

A = np.array([[2, 4], [1, 3], [0, 0], [0, 0]])
print(np.linalg.svd(A))

输出

(array([[-0.81741556, -0.57604844,  0.        ,  0.        ],
        [-0.57604844,  0.81741556,  0.        ,  0.        ],
        [ 0.        ,  0.        ,  1.        ,  0.        ],
        [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  1.        ]]),
 array([ 5.4649857 ,  0.36596619]),
 array([[-0.40455358, -0.9145143 ],
        [-0.9145143 ,  0.40455358]]))

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SVD简单讲解（易懂）

求解

举例

Numpy 实现

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