问题描述：
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。
示例：
输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba"也是一个有效答案。
思路与分析：
1.动态规划
思路：
判断一个子串 S(i, j) 是否回文：如果 S[ i ] = S[ j ]，且 S[ i+1, j-1 ]是回文串，则 S(i, j) 必定是回文串。
假设矩阵元素 P(i ,j) 表示子串 S(i, j) 是否回文，由上得出状态转移方程
P(i, j) = ( P(i+1, j-1) and S[ i ] == S[ j ] )
写出 Top-down 的递归代码后将其用 Bottom-up 的方式改写即可。
时间复杂度：
填充完矩阵的上三角或者下三角，结果就出来了，显然时间复杂度是O(n^2)
2.Manacher 's Algorithm
大名鼎鼎的马拉车算法，网上介绍很多，这里只讲解下我觉得比较难的地方。
思路：
遍历字符串的元素，以它为对称中心向两边配对扩展，若扩展长度为L，则以该元素为中心的回文串长度为2L+1，用数组P来记录每个元素的扩展宽度，且在遍历过程中调用这些记录，减少重复的计算，只需扫描一遍即可完成。
先看代码：
代码实现（Python）:
class Solution(object):
def longestPalindrome(self, s):
"""
:type s: str
:rtype: str
"""
if s == '': return ''
T = '^'
for i in range(len(s)):
T += '#' + s[i]
T += '#$'
n = len(T)
P = [0 for i in range(n)]
Center, R = 0, 0
for i in range(1, n-1):
#求i关于Center的对称点
i_mirror = 2*Center - i
#利用对称点求P[i]
if R > i:
#P[i']超出边界后只能保证P[i] >= R-i
P[i] = min(P[i_mirror], R-i)
else: P[i] = 0
#关于对称点展开
while T[i+1+P[i]] == T[i-1-P[i]]:
P[i] += 1
print T[i],P[i]
#及时更新右边界
if i + P[i] > R:
Center = i
R = i + P[i]
max_p = 0
for i in range(n):
if P[i] > P[max_p]:
max_p = i
ans = T[max_p-P[max_p] : max_p+P[max_p]+1].replace('#','')
print P
return ans
难点
（1）P[i] = min(P[i_mirror], R-i)
利用回文串的对称性质，容易得到 P[ i ] = P[ i_mirror ]，但这并不总是成立。
假设当前扫描到元素 i ，以它为中心进行扩展，若令 P[ i ] = P[ i_mirror ]，可能在配对过程中超出右边界R。
在双侧边界L、R中，我们可以保证匹配，如果超出了边界，
边界外的字符是否也跟它的对称点——边界内的元素匹配呢？————不知道，只能开始新的匹配了。
由于只能保证边界内的对称性，所以P[ i ]取两者的较小值：到右边界的距离 R-i 以及对称点的 P 值
当R = i时，当前元素 i 与边界重合，对称的元素是自己，考察 P[ i_mirror ] 是没有意义的，故 P[ i ] = 0
（2）while T[i+1+P[i]] == T[i-1-P[i]]:
P[i] += 1
这个while循环用来求当前元素 i 可以向两边扩展多少，为什么访问的元素索引里有P[ i ]呢？这正是它的另一精妙所在。
P[ i ] 表示 i 的扩展宽度，在while循环之前我们已经求了它的初始值，接下来就在它的基础上再进行匹配，相当于复用了之前的计算。这保证了while循环的运行次数是O(1)复杂度的。
粗略地说：
一般的字符串往外扩展几个字符就会失去匹配，while只需执行O(1)次；
如果回文子串特别长，会不会向两边一直遍历完整个子串呢？由于在匹配过程中复用了 P[ i ]，事实上最多只需再匹配大概 i - P[ i ]次，应该是常数级别的，笔者给不出严格的证明QAQ 但是在纸上手工模拟了一下 “aaaaaaa” 的匹配结果，匹配到一半你会发现往后每次只跟开头的两个字符 "#a" 做匹配，while只执行两次。
时间复杂度：O(n)
一层 for 循环里面套了只执行 O(1) 次的 while 循环，算法整体是 O(n) 复杂度的
Reference
https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/solution/