NYOJ 995 硬币问题（经典动态规划）

硬币找零

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难度：3

输入

输入数据：
第 1 行，为 N 和 T，其中 1≤N≤50 为硬币系统中不同硬币数；1≤T≤100000 为需要用硬币找零的总数。
第 2 行为 N 个数值不大于 65535 的正整数，它们是硬币系统中各硬币的面值。
当n，t同时为0时结束。

输出

输出数据：
如 T 能被硬币系统中的硬币找零，请输出最少的找零硬币数。
如 T 不能被硬币系统中的硬币找零，请输出剩下钱数最少的找零方案中的最少硬币数。

样例输入

4 12
10 7 5 1

样例输出

描述

在现实生活中，我们经常遇到硬币找零的问题，例如，在发工资时，财务人员就需要计算最少的找零硬币数，以便他们能从银行拿回最少的硬币数，并保证能用这些硬币发工资。

我们应该注意到，人民币的硬币系统是 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，

0.02，0.01 元，采用这些硬币我们可以对任何一个工资数用贪心算法求出其最少硬币数。

但不幸的是：我们可能没有这样一种好的硬币系统，因此用贪心算法不能求出最少的硬币数，甚至有些金钱总数还不能用这些硬币找零。例如，如果硬币系统是 40，30，25 元，那么 37元就不能用这些硬币找零；95 元的最少找零硬币数是 3。又如，硬币系统是 10，7，5，1元，那么 12 元用贪心法得到的硬币数为 3，而最少硬币数是 2。

你的任务就是：对于任意的硬币系统和一个金钱数，请你编程求出最少的找零硬币数；

如果不能用这些硬币找零，请给出一种找零方法，使剩下的钱最少。

分析：此题麻烦点在于，不一定能够刚好找零，需要尽可能的找零（在不多给钱的情况下，被给钱的人拿到尽可能多的钱）

刚开始想的是定义状态 $dp[i]$ 表示金额为 $i$ 时候需要的最小硬币数，后来发现一个问题，如果初始化 $dp[i]$ 全为0 则求出的最小值全为0，如果把 $dp[0] = 0$ 其它位无穷大，这样得到的结果为无穷大（此时只有恰好找零能够得到结果，所以需要从t往回找满足 $dp[i] < inf$ 的那个最大 $i$ ）。后来想到倒推的动态规划方程（两种方法都可以）。

$dp[i] = min(dp[i],dp[i+cost[j]])$

其中 $dp[t] = 0$

注意倒推到 0 位置而不是 1, 0表示恰好找零。然后输出最小的满足 $dp[i] < INF$ 的 $i$ 。

code1 倒推：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
const int INF = 1 << 30;
int dp[N];
int t,n;
int cost[55];

int main()
    {
        while(scanf("%d%d",&n,&t) == 2){
            if(n + t == 0)
                break;
            //memset(dp,INF,sizeof(dp));
            fill(dp,dp+N,INF);
            for(int i = 0; i < n; ++i){
                scanf("%d",&cost[i]);
            }
            dp[t] = 0;
            for(int i = t; i >= 0; --i){
                for(int j = 0; j < n; ++j){
                    if(i+cost[j] <= t){
                        dp[i] = min(dp[i],dp[i+cost[j]] + 1);
                    }
                }
            }
            for(int i = 0; i <= t; ++i){
                if(dp[i] < INF){
                    //printf("i = %d, dp[i] = %d\n",i,dp[i]);
                    printf("%d\n",dp[i]);
                    break;
                }
            }
        }


        return 0;
    }

code2 正推：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
const int INF = 1 << 30;
int dp[N];
int t,n;
int cost[55];

int main()
    {
        while(scanf("%d%d",&n,&t) == 2){
            if(n + t == 0)
                break;
            //memset(dp,INF,sizeof(dp));
            fill(dp,dp+N,INF);
            for(int i = 0; i < n; ++i){
                scanf("%d",&cost[i]);
            }
            dp[0] = 0;
            for(int i = 0; i <= t; ++i){
                for(int j = 0; j < n; ++j){
                    if(i >= cost[j]){
                        dp[i] = min(dp[i],dp[i-cost[j]] + 1);
                    }
                }
            }
            for(int i = t; i >= 0; --i){
                if(dp[i] < INF){
                    //printf("i = %d, dp[i] = %d\n",i,dp[i]);
                    printf("%d\n",dp[i]);
                    break;
                }
            }
        }


        return 0;
    }

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