017指北与游移方位惯导系统知识梳理

为了避免各个概念的混淆，还是把这两个内容先梳理一下。与其说梳理两种惯导方式，还不如说是一种，因为游移惯导就是为了解决指北惯导跟踪不上地理系而改进的，仅与指北惯导存在一个游移方位角 $\alpha$ 的关系。另外在学习中看了好几本不同的书，所以字母表示我都感觉混乱。在这篇梳理中尽量保证与前面推导过程字母的统一。

一、指北方位惯导系统

1、指北方位惯导的力学编排

（1）平台指令角速度

在指北惯导中，理想情况下平台系p与地理系g是重合的，所以在力学编排中就认为他们是重合，误差分析时才考虑两者不重合的情况。注意是平台跟踪地理系，平台系与地理系的指向始终重合，而不是运载体；运载体的姿态需要根据平台相对于运载体的转动信息输出。

平台跟踪地理系的过程中，对平台施加的指令角速度为 $\vec{\omega}_{ig}^g$ ，即g系相对于惯性系i的角速度在g系的投影。
$\vec{\omega}_{ig}$ 由两部分组成，分别为：
$\vec{\omega}_{ie}$ 为地球相对于i系的角速度在g系的投影，即地球自转角速度 $\vec{\Omega}$ 在g系中的投影，也可表示为 $\vec{\Omega}^g$ ;
$\vec{\omega}_{eg}^g$ 为运载体相对于地球的角速度在g系中的投影。

那么指令角速度可以通过这样的路线求解：

{\vec{ω}}_{i g}^{g} \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{Ω}}^{g} \\ {\vec{ω}}_{e g}^{g} \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{V}}_{e g}^{g} \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{ig}^g \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\Omega}^g \\ \\ \vec{\omega}_{eg}^g \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \\ \\ \vec{V}_{eg}^g \\ \end{matrix} \right]$

（2）速度方程

速度方程中会用到平台指令角速度中的 $\vec{\Omega}^g \space \vec{\omega}_{eg}^g$
为了明确区分，把投影到的坐标系也进行了标记

{\dot{\vec{V}}}_{e g}^{g} = {\vec{f}}^{g} - (2 {\vec{Ω}}^{g} + {\vec{ω}}_{e g}^{g}) \times {\vec{V}}_{e g}^{g} + \vec{g}

$\dot{\vec{V}}_{eg}^g = \vec{f}^g - (2\vec{\Omega}^g + \vec{\omega}_{eg}^g) \times \vec{V}_{eg}^g + \vec{g}$

（3）经纬度方程

经纬度求解通过速度方程求解。

[\begin{matrix} ϕ \\ λ \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} {\vec{V}}_{e g}^{g}

$\left[ \begin{matrix} \phi \\ \\ \lambda \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \vec{V}_{eg}^g$

2、指北方位惯导的误差方程

（1）速度误差方程

前面已经提及，分析误差时要考虑p系与g系之间的偏差。两者之间的转换矩阵为 $C_g^p$ ，计算系c。通过比力方程求c系和g系中的速度，然后求误差。

δ \vec{V} = {\vec{V}}^{c} - {\vec{V}}^{g}

$\delta \vec{V} = \vec{V}^c - \vec{V}^g$

注意，比力方程中

{\vec{f}}^{c} = {\vec{f}}^{p} + \nabla^{p} = C_{g}^{p} {\vec{f}}^{g} + \nabla^{p}

$\vec{f}^c=\vec{f}^p+\nabla^p = C_g^p\vec{f}^g + \nabla^p$

（2）位置误差方程

[\begin{matrix} δ λ \\ δ ϕ \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} λ_{c} λ \\ ϕ_{c} ϕ \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{V}}^{c} {\vec{V}}^{g} \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} \delta \lambda \\ \\ \delta \phi \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \lambda_c \space\space \lambda \\ \\ \phi_c \space\space \phi \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{V}^c \space\space \vec{V}^g \end{matrix} \right]$

经度误差的求解同理。

（3）平台姿态误差

平台系与地理系之间的偏差角 $\phi$

\dot{\vec{ϕ}} = {\vec{ω}}_{g p}^{p}

$\dot{ \vec{\phi} } = \vec{\omega}_{gp}^p$

{\vec{ω}}_{g p}^{p} \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{ω}}_{i p}^{p} \\ {\vec{ω}}_{i g}^{p} \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{ω}}_{i c}^{c} \\ {\vec{ω}}_{i g}^{g} \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{Ω}}^{c} & {\vec{V}}^{c} \\ {\vec{Ω}}^{g} & {\vec{V}}^{g} \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{gp}^p \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\omega}_{ip}^p \\ \\ \vec{\omega}_{ig}^p \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\omega}_{ic}^c \\ \\ \vec{\omega}_{ig}^g \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\Omega}^c & \vec{V}^c \\ \\ \vec{\Omega}^g & \vec{V}^g \\ \end{matrix} \right]$

二、游移方位惯导系统

与指北方位惯导的不同之处就是游移方位角的存在，过程中注意一下即可。也要注意此时的平台系p不与地理系g重合，夹角就是游移方位角。可以假定与p系重合的为理想平台系G，这在误差分析中会得到应用，分析方法与指北惯导误差分析中的p系与g系相同。

1、游移方位惯导的力学编排

（1）平台指令角速度

注意 $\vec{\Omega}^p$ 要通过将 $\vec{\Omega}^g$ 向p系投影得到。

{\vec{ω}}_{i p}^{p} \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{Ω}}^{p} \\ {\vec{ω}}_{e p}^{p} \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} \vec{Ω} \\ {\vec{ω}}_{e g}^{g} \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{V}}_{e g}^{g} \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{V}}_{e p}^{p} \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{ip}^p \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\Omega}^p \\ \\ \vec{\omega}_{ep}^p \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\Omega} \\ \\ \vec{\omega}_{eg}^g \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \\ \\ \vec{V}_{eg}^g \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \\ \\ \vec{V}_{ep}^p \\ \end{matrix} \right]$

（2）速度方程

{\dot{\vec{V}}}_{e p}^{p} = {\vec{f}}^{p} - (2 {\vec{Ω}}^{p} + {\vec{ω}}_{e p}^{p}) \times {\vec{V}}_{e p}^{p} + \vec{g}

$\dot{\vec{V}}_{ep}^p = \vec{f}^p - (2\vec{\Omega}^p + \vec{\omega}_{ep}^p) \times \vec{V}_{ep}^p + \vec{g}$

2、游移方位惯导的误差方程

这里用到理想的平台系G，理想情况下G系与p系重合，分析误差时要考虑两者之间的偏差。

（1）速度误差方程

δ \vec{V} \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{V}}^{c} \\ {\vec{V}}^{G} \end{matrix}]

$\delta \vec{V} \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{V}^c \\ \\ \vec{V}^G \\ \end{matrix} \right]$

（2）位置误差方程

[\begin{matrix} δ λ \\ δ ϕ \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} λ_{c} λ \\ ϕ_{c} ϕ \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{V}}^{c} {\vec{V}}^{G} \end{matrix}]

（3）平台姿态误差方程

\dot{{\vec{ϕ}}^{p}} = {\vec{ω}}_{G p}^{p}

$\dot{ \vec{\phi}^p } = \vec{\omega}_{Gp}^p$

{\vec{ω}}_{G p}^{p} \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{ω}}_{i p}^{p} \\ {\vec{ω}}_{i G}^{p} \end{matrix}] \overset{}{\leftarrow} [\begin{matrix} {\vec{ω}}_{i c}^{c} \\ {\vec{ω}}_{i G}^{G} \end{matrix}]

$\vec{\omega}_{Gp}^p \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\omega}_{ip}^p \\ \\ \vec{\omega}_{iG}^p \\ \end{matrix} \right] \xleftarrow[]{} \left[ \begin{matrix} \vec{\omega}_{ic}^c \\ \\ \vec{\omega}_{iG}^G \\ \end{matrix} \right]$

可能写的不够详细，以后想到再补充！