捷联惯导系统模型及仿真（二）

1.2 姿态误差模型

姿态误差模型，是研究的重点。
一种新的对准方法，的新意就主要集中于姿态误差模型的不同。
例如：
从源头上就分成了，惯性系下 和 地理坐标系下的对准；（本文先分析后者）
然后，地理坐标系下的姿态误差模型本身，即不做简化，应为非线性模型，
因此，此处为处理非线性模型，分成了三种：
直接使用非线性模型、对非线性模型做近似线性处理 和 使用姿态态误差为小角度时的线性模型（即，做了个姿态误差为小角度的假设）

接下来要介绍的就是，地理坐标系下、基于姿态误差角为小角度假设的，姿态误差模型：

秦书P314

目标：导出 $\dot{\phi}$ 的方程（即 $C^{n'}_n$ 和 $\delta Q$）
先已知： 四元数表示形式下的理想情况下姿态更新方程

$$\dot{Q}=\frac{1}{2}Q\otimes \omega^b_{nb}$$
考虑误差的实际情况下:
$$\dot{\hat{Q}}=\frac{1}{2}\hat{Q}\otimes\hat{\omega}^b_{nb}$$

• $\hat{Q}$与姿态矩阵 $C^{n'}_{b}$对应
• $\hat{Q}=\delta Q^*\otimes Q$ 与 $C^{n'}_b=C^{n'}_nC^n_b$对应

$$\hat{Q}=\delta Q^*\otimes Q$$

$\delta Q$为$\hat{Q}$引起的误差四元数：

$$\delta Q= Q\otimes\hat{Q}^*$$
对两边求导，结果即为目标所求：
$$\delta \dot{Q}=\dot{Q}\otimes\hat{Q}^*+Q\otimes \dot{\hat{Q}}^*\\ =\frac{1}{2}{Q}\otimes{\omega}^b_{nb}\otimes\hat{Q}^*+\frac{1}{2}{Q}\otimes(-\hat{\omega}^b_{nb})\otimes \hat{Q}^*\\ =-\frac{1}{2}{Q}\otimes{\delta \hat \omega}^b_{nb}\otimes\hat{Q}^*\\ $$

• 其中，$\delta \hat \omega^b_{nb}$需要用已知量来表示：
  $$\delta \hat \omega^b_{nb}=\hat \omega^b_{nb}-\omega^b_{nb}=(\tilde \omega^b_{ib}-\hat \omega^b_{in})-(\omega^b_{ib}-\omega^b_{in})\\ =\delta \tilde \omega^b_{ib}+\omega^b_{in}-\hat \omega^b_{in}$$

$\tilde \omega^b_{ib}$为陀螺的真实输出角速度（存在有常值误差、零漂、标度因数误差、安装误差等）；$\omega^b_{ib}$为理论输出值；
$\hat \omega^b_{in}$为对数学平台施加的真实指令角速度（根据系统解算的导航解确定的）；$\omega^b_{in}$为理论值；

这样，代入后式子变为：

$$\delta \dot{Q}=-\frac{1}{2}{Q}\otimes(\delta \tilde \omega^b_{ib}+\omega^b_{in}-\hat \omega^b_{in})\otimes\hat{Q}^*$$

• 结合$Q^*\otimes Q=I$，
  且 $\delta \tilde \omega^n_{ib}=Q\otimes \delta \tilde \omega^b_{ib} \otimes Q^* ,\quad$ $\delta \omega^n_{in}=Q\otimes \delta \omega^b_{in} \otimes Q^* \quad,$
  $\delta \hat\omega^n_{in}=\hat Q\otimes \delta \hat\omega^b_{in} \otimes \hat Q^*$,

有：

$$\delta \dot{Q}=-\frac{1}{2}\delta \tilde \omega^n_{ib}\otimes \delta Q-\frac{1}{2}\omega^n_{in}\otimes \delta Q +\frac{1}{2} \delta Q\otimes(\omega^n_{in}+\delta \omega^n_{in})$$

• 其中，将四元数采用三角形式表示：
  $\delta Q = cos\frac{\phi}{2}+\frac{\phi}{\phi}sin\frac{\phi}{2}\approx1+\frac{\phi}{2}$
  $\delta \dot Q=\frac{\dot \phi}{2}$

略去二阶小量：

$$\dot \phi=-\delta\tilde\omega^n_{ib}+\delta \omega^n_{in}+\phi \times \omega^n_{in}$$

• 其中，$\delta\tilde\omega^n_{ib}=C^n_b \delta\tilde\omega^b_{ib}$，而$\delta\tilde\omega^b_{ib}=\tilde\omega^b_{ib}-\omega^b_{ib}$，即为陀螺的标度因数误差、安装误差、常值漂移、随机噪声等引起的误差。
  表示为$\delta\tilde\omega^b_{ib}=([\delta K_G]+[\delta G])\omega^b_{ib}+\varepsilon^b$

最终：

$$\dot \phi=\phi \times \omega^n_{in}+\delta \omega^n_{in}+C^n_b\{([\delta K_G]+[\delta G])\omega^b_{ib}+\varepsilon^b\}$$

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补充：
零矢量构成的四元数乘 和 矢量叉乘
向量$r^b$经过一次旋转变换得到$r^R$，对应的变换用余弦矩阵来表示是$C^R_b$，用四元数来表示是$Q$.

$$\begin{bmatrix} 0\\ r^R \end{bmatrix} =Q \otimes \begin{bmatrix} 0\\ r^b \end{bmatrix} \otimes Q^* \\ =M(Q)M'(Q^*) \begin{bmatrix} 0\\ r^b \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} \times & 0_{1\times 3}\\ \times_{3\times 1} &C^R_b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ r^b \end{bmatrix}$$

【注】：完成一次变换有两种方式：
一是，固定坐标系不动，将矢量旋转，余弦矩阵$C^R_b$是这一种；
另一种是，将矢量视为不动的，将坐标系旋转，也可以使矢量转到该坐标系的某个位置，四元数$Q$是这一种。
有一种 相对运动的感觉。