Wannafly挑战赛20 D 挑选队友

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/133/D
来源：牛客网
 

Applese打开了m个QQ群，向群友们发出了组队的邀请。作为网红选手，Applese得到了n位选手的反馈，每位选手只会在一个群给Applese反馈
现在，Applese要挑选其中的k名选手组队比赛，为了维持和各个群的良好关系，每个群中都应有至少一名选手成为Applese的队友（数据保证每个群都有选手给Applese反馈）
Applese想知道，他有多少种挑选队友的方案

输入描述:

输入包括两行
第一行包括三个数n, m, k，表示共有n位选手，m个群，需要有k名选手被选择

第二行包括m个数，第i个数表示第i个群有si个选手

n ≤ 100000, m ≤ k ≤ n

输出描述:

输出包括一行
第一行输出方案数
由于输出可能比较大，你只需要输出在模998244353意义下的答案

sol:

比较裸的生成函数题。考虑构造多项式，对于有n人的群，选择的方案即。对于m个团队，将m个多项式相乘。则对应系数即为答案。 因为最多有1e5个多项式，而n最大为1e5，考虑用分治ntt。用队列模拟即可。

几个坑点：

1. 对常量取模比变量取模快一倍。。。。。。。。

2.因为始终为0(每个群必须有一个人),可以将多项式系数向左移一位。

code： 

#include<bits/stdc++.h>
   
using namespace std;
typedef long long ll;
       
const int maxn = 2e5 + 50;
const ll mod = 998244353;
       
inline ll qpow(ll a, ll b)
{
    ll sum = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            sum = sum * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return sum;
}
       
inline ll Inv(ll a, ll _mod)
{
    return qpow(a, _mod - 2);
}
       
ll fac[maxn], inv[maxn];
       
void init(int n)
{
    fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[n] = Inv(fac[n],mod);
    for (int i = n - 1; i > 1; i--)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
       
inline ll C(int n, int m)
{
    return fac[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod;
}
       
struct NTT
{
    int rev[maxn], dig[105];
    int N, L;
    ll g;
    void init_rev(int n)
    {
        //初始化原根
        g = 3;
        for (N = 1, L = 0; N <= n; N <<= 1, L++);
        memset(dig,0,sizeof(int)*(L+1));
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            rev[i] = 0;
            int len = 0;
            for (int t = i; t; t >>= 1)
                dig[len++] = t & 1;
            for (int j = 0; j < L; j++)
                rev[i] = (rev[i] << 1) | dig[j];
        }
    }
       
    void DFT(vector<ll>&a , int flag)
    {
        for (int i = 0; i < N; i++)
            if (i < rev[i])
                swap(a[i], a[rev[i]]);
       
        for (int l = 1; l < N; l <<= 1)
        {
            ll wn;
           if (flag == 1)
                wn = qpow(g, (mod - 1) / (2*l));
            else
                wn = qpow(g, mod - 1 - (mod - 1) / (2*l));
            for (int k = 0; k < N; k += l*2)
            {
                ll w = 1;
                ll x,y;
                for (int j = k; j < k + l; j++)
                {
                    x = a[j];
                    y = a[j+l] * w % mod;
                    a[j] = (x + y) % mod;
                    a[j + l] = (x - y + mod) % mod;
                    w = w * wn % mod;
                }
            }
        }
        if (flag == -1)
        {
            ll x = Inv(N, mod);
            for (int i = 0; i < N; i++)
                a[i] = a[i] * x % mod;
        }
    }
       
    void mul(vector<ll>& a,vector<ll>& b,int m)
    {
        init_rev(m);
        a.resize(N);
        b.resize(N);
        DFT(a, 1);
        DFT(b, 1);
        for (int i = 0; i < N; i++)
            a[i] = a[i] * b[i]%mod;
        DFT(a, -1);
        int len = N - 1;
        while(a[len]==0) len--;
        a.resize(len+1);
    }
} ntt;
       
vector<ll> v[maxn];
       
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,m,k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    init(n+1);
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        v[i].resize(x);
        for(int j=1;j<=x;j++) {
            v[i][j-1] = C(x,j);
        }
        q.push(i);
    }
    while(q.size()>1){
        int q1 = q.front();
        q.pop();
        int q2 = q.front();
        q.pop();
        ntt.mul(v[q1],v[q2],v[q1].size()+v[q2].size());
        q.push(q1);
    }
    ll ans = v[q.front()][k-m];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}