myh的超级多项式 - 分治FFT

题目大意：
给你 $n,k,\{v_k\},\{f_k\}$，并且已知 $f_n=\sum_{i=1}^k a_iv_i^{n}$，求 $f_n,n-k\le1000,k\le10^5,O(k(n-k))$可过。
题解：考虑构造 $f_n$关于 $f_{n-k}\ldots f_{n-1}$的递推式，也就是要求系数序列 $\{c_k\}$，使得： $f_n=\sum_{i=1}^kc_if_{n-i}$成立。
令 $c_0=-1$，等价于：
$\sum_{i=0}^kc_if_{n-i}=0\\ \sum_{i=0}^kc_i\sum_{j=1}^ka_jv_j^{n-i}=0$
其一个充分条件是：
$\forall j\in[1,k],\sum_{i=0}^kc_ia_jv_j^{n-i}=0$
亦即：
$\forall j\in[1,k],\sum_{i=0}^kc_iv_j^{k-i}=0$
令 $F(x)=\sum_{i=0}^kc_{k-i}x^i$，则上式等价于 $\{v_k\}$是 $F(x)$的零点，再由 $[x^k]F(x)=c_0=-1$可知： $F(x)=-\prod_{i=1}^k(x-v_i)$
使用分治FFT求出 $F(x)$进而得到 $\{c_k\}$进而求出 $f_n$即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define p 1004535809
#define N 100010
#define lint long long
#define gc getchar()
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
using namespace std;
inline int inn()
{
    int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
    x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
int a[N<<2],b[N<<2],r[N<<2],c[N],x[N],v[N];vector<int> f[N];
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%p) (k&1)?ans=(lint)ans*x%p:0;return ans; }
inline int NTT(int *a,int n,int s)
{
    for(int i=1;i<n;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=2;i<=n;i<<=1)
    {
        int wn=fast_pow(3,s>0?(p-1)/i:p-1-(p-1)/i);
        for(int j=0,t=i>>1;j<n;j+=i) for(int k=0,w=1,x,y;k<t;k++,w=(lint)w*wn%p)
            x=a[j+k],y=(lint)w*a[j+k+t]%p,((a[j+k]=x+y)>=p?a[j+k]-=p:0),((a[j+k+t]=x-y)<0?a[j+k+t]+=p:0);
    }
    if(s<0) { int ninv=fast_pow(n,p-2);for(int i=0;i<n;i++) a[i]=(lint)a[i]*ninv%p; }
    return 0;
}
inline int tms(const vector<int> &A,const vector<int> &B,vector<int> &C)
{
    int m1=(int)A.size(),m2=(int)B.size();
    int n=1,L=0;for(;n<m1+m2-1;n<<=1,L++);
    for(int i=1;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    clr(a,n);for(int i=0;i<m1;i++) a[i]=A[i];NTT(a,n,1);
    clr(b,n);for(int i=0;i<m2;i++) b[i]=B[i];NTT(b,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=(lint)a[i]*b[i]%p;NTT(a,n,-1);
    C.resize(m1+m2-1);for(int i=0;i<m1+m2-1;i++) C[i]=a[i];
    return 0;
}
int solve(int l,int r)
{
    if(l==r) return f[l].resize(2),f[l][0]=(v[l]?p-v[l]:0),f[l][1]=1;
    int mid=(l+r)>>1;solve(l,mid),solve(mid+1,r),tms(f[l],f[mid+1],f[l]);
    return 0;
}
int main()
{
    int n=inn(),k=inn();
    for(int i=1;i<=k;i++) v[i]=inn();
    for(int i=1;i<=k;i++) x[i]=inn();
    solve(1,k);
    for(int i=0;i<=k;i++) c[i]=(f[1][i]?p-f[1][i]:0);
    for(int i=0;i<=k/2;i++) swap(c[i],c[k-i]);
    for(int i=k+1;i<=n;i++)
    {
        lint w=0;
        for(int j=1;j<=k;j++) w+=(lint)c[j]*x[i-j]%p;
        x[i]=(int)(w%p);
    }
    return !printf("%d\n",x[n]);
}