前几天写的FFT，写一下自己的理解；
最近很不爽 生病了 还被踩 吊着锤；
FFT就是快速解决多项式乘法的问题，闵神讲的课还是比较好的，至少我差不多都听懂了；
前置芝士：复数，欧拉公式，单位根，基本运算水平；
由于一个n次多项式 可以被n个点唯一确定。
那么我们可以把单位根的0到n−1次幂带入，这样也可以把这个多项式确定出来。但是这样仍然是O(n2)
我们设多项式A(x)的系数为(a0,a1,a2,…,an−1)
那么A(x)=a0+a1∗x+a2∗x2+a3∗x3+a4∗x4+a5∗x5+⋯+an−2∗xn−2+an−1∗xn−1
将其下标按照奇偶性分类
A(x)=(a0+a2∗x2+a4∗x4+⋯+an−2∗xn−2)+(a1∗x+a3∗x3+a5∗x5+⋯+an−1∗xn−1)
设 A1(x)=a0+a2∗x+a4∗x2+⋯+an−2∗xn2−1
A2(x)=a1+a3∗x+a5∗x2+⋯+an−1∗xn2−1
那么A(x)=A1(x2)+xA2(x2)
不难发现 这个式子只有常数项不同，那么我们发现其实可以将其分治做下去，一直按照下标奇偶分类，递归的去作就好；
我们记录一个多项式一般是记录其系数的值，而FFT就是把系数表示变成点置表示在变成系数表示；
我们可以推导出来一个式子，系数其实最后是需要除n的，这样是代码最后一行那样写的原因；
Ck=nak；
这就是点值和系数之间的关系，反正我是把所有式子推导了一遍，发现不是特别难，所以建议不懂得时候手算一下；
设出来一组向量，然后表示他和系数之间的关系即可；
理清一下思路；
我们用系数表示多项式，但是求值的时候有点麻烦，；
我们考虑用点值表示这个多项式，但是我们最后仍需要系数表示，
我们尝试去寻找两者关系，最后发现可以分治，所以递归，所以相当于
系数到点值到系数；
偷来的图：
而且写代码的时候建议手写一下复数的运算，尽管c++自带有，但是也就几行，为了不被卡常；
当然递归版本的FFT又是会被卡掉；
其中是有一些小优化的，比如蝴蝶操作，小trick，就是主函数里注释的东西，但是我只写了递归版本（小声）所以就先不整理了；
#include<iomanip> #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<deque> #include<cmath> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<stack> #include<algorithm> #include<vector> #include<cctype> #include<utility> #include<set> #include<bitset> #include<map> using namespace std; const int N=2100010; const double pi=acos(-1.0); struct complex{ double r,v; complex(double a=0,double b=0):r(a),v(b){} inline complex operator+(const complex& b){return complex(r+b.r,v+b.v);} inline complex operator-(const complex& b){return complex(r-b.r,v-b.v);} inline complex operator*(const complex& b){return complex(r*b.r-v*b.v,v*b.r+r*b.v);} }; inline void swap(complex& a,complex& b){complex t(a);a=b;b=t;} int n,m,L,H; complex a[N],b[N],temp[N]; complex w[N]; void FFT(complex* a,int len,int f){ if(len==1)return; for(int i=0;i<len/2;i++) temp[i]=a[i*2],temp[i+len/2]=a[i*2+1]; for(int i=0;i<len;i++) a[i]=temp[i]; FFT(a,len/2,f),FFT(a+len/2,len/2,f); complex wn(cos(2*pi/len),f*sin(2*pi/len)),w(1,0); for(int i=0;i<len/2;i++){ complex x=a[i],y=w*a[i+len/2]; a[i]=x+y,a[i+len/2]=x-y; w=w*wn; } } int main(){ // freopen("a.in","r",stdin); // freopen("a.out","w",stdout); ios::sync_with_stdio(false); w[0].r=1; cin>>n>>m; n++; m++; for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i].r; for(int i=0;i<m;i++) cin>>b[i].r; for(L=1,H=0;L<(n+m-1);H++) L<<=1; // for(int i=0;i<L;i++) // R[i]=(R[i<<1]<<1)|((1&i)<<(H-1)); FFT(a,L,1); FFT(b,L,1); for(int i=0;i<L;i++) a[i]=a[i]*b[i]; FFT(a,L,-1); for(int i=0;i<n+m-1;i++) cout<<(int)(a[i].r/L+0.5)<<' '; return 0; }
以上是我对FFT的浅陋理解，可能会有错误，但是写代码的时候和Chdy大佬也是争执了很多不同的看法，可能以后才会补坑吧；
洛谷的这个模板题解还是不错的，推荐；