【多项式转化+分治FFT+大整数处理】CC_LUCASTH Lucas Theorem

【题目】
Codechef
集合 $[n]$ 表示由 $1\sim n$ 所有整数构成的集合，定义：
$f(n,k)=\sum_{S\subseteq [n]\\|S|=k} \prod_{x\in S}x$
特别地， $f(n,0)=1$ ，求对于所有 $k\in[0,n]$ ，有多少 $f(n,k)$ 无法被一个素数 $p$ 整除。

$n\leq 10^{501},p\leq 10^5$

【解题思路】
首先我们需要观察到我们要求的 $f(n,k)$ 实际上是什么？他就是 $(x+1)$ 的 $n$ 次上升幂的 $x^{n-k}$ 项的系数，即：
$[x^{n-k}]\prod_{i=1}^n (x+i)$
这个东西也很好理解，就是我们选择 $k$ 个数字相乘，如果选择了数字次数就不变，如果选择了 $x$ 次数就会 $+1$ 。

现在我们可以在 $O(n\log ^2n)$ 的时间内通过分治 $\text{FFT}$ 简单得到答案了。

接下来我们需要进行更多推导，不妨设上面那个柿子为 $P(x)$ ，我们要求的就是模 $p$ 意义下 $P(x)$ 有多少项非零（接下来讨论都是在这个意义下）。令 $c=\lfloor \frac {n} p\rfloor,b=n\text{ mod }p$ ，那么我们有：
$P(x)=(\prod_{i=1}^p(x+i))^c(\prod_{i=1}^b(x+i))$
（就是前半部分稍微在模意义下进行了改动）

同时我们还有一个结论：
$\prod_{i=1}^p(x+i) \equiv (x^p-x) \quad(\text{mod p})$
可以在 $\text{wiki}$ 上看到证明（也许是用费马小定理和亨泽尔引理），大概是左右两边多项式都有 $p?$ 个根。

由于我们只需要求有多少项非零，所以将 $(x^p-x)$ 替换为 $(x^{p-1}-1)$ 不会有影响，那么现在不妨做以下替换：
$f(x)=(x^{p-1}-1)\\g(x)=\prod_{i=1}^b(x+i)\\P(x)=f^c(x) \cdot g(x)$
特别地，若 $n\text{ mod }p=p-1$ ，令 $c=\lfloor \frac n p \rfloor +1,g(x)=1$ ，这个替换显然是成立的（多乘一项(x+p)对答案是没有影响的，只会将整体右移一位）

由于我们有 $f^c(x)=\sum\limits_{i=0}^c x^{i(p-1)}(-1)^{k-i}{c\choose i}$ ，即 $f^c(x)$ 只含 $x^{i(p-1)}$ 项，且 $\text{deg}(g)<p-1$ ，于是我们可以分别考虑 $f^c(x)$ 的非零项数和 $g(x)$ 的非零项数，再将两个乘起来即可。

对于 $g(x)$ ，显然我们可以分治 $\text{FFT}$ 做。

对于 $f^c(x)$ ，我们只需要看 $c\choose i$ 是否被 $p$ 整除，这个根据 $\text{Lucas}$ 定理，如果将 $c,i$ 都写成 $p$ 进制数， ${c\choose i}\equiv 0 \quad (\text{mod p})\Leftrightarrow c$ 的每一位都 $\ge i$ ，那么设 $c$ 的每一位分别为 $c_i$ ，答案就是 $\prod\limits_i (c_i+1)$

于是总的时间复杂度是 $O(\log ^2 n+p\log ^2 p)$

WIKI证明相关
Finite field
Hensel’s lemma
Fermat’s little theorem

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double db;
const db pi=acos(-1);
const int N=262333,mod=1e9+7;

namespace Poly
{
	int m,L,rev[N];
	struct cd
	{
		db r,i;
		cd(db _r=0,db _i=0):r(_r),i(_i){}
		cd operator + (const cd&rhs)const{return cd(r+rhs.r,i+rhs.i);}
		cd operator - (const cd&rhs)const{return cd(r-rhs.r,i-rhs.i);}
		cd operator * (const cd&rhs)const{return cd(r*rhs.r-i*rhs.i,r*rhs.i+i*rhs.r);}
		cd operator / (const db&rhs)const{return cd(r/rhs,i/rhs);}
	}A[N],B[N];
	void fft(cd *a,int n,int f)
	{
		for(int i=0;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(int i=1;i<n;i<<=1)
		{
			cd wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
			for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			{
				cd w(1,0);
				for(int k=0;k<i;++k,w=w*wn)
				{
					cd x=a[j+k],y=w*a[i+j+k];
					a[j+k]=x+y;a[i+j+k]=x-y;
				}
			}
		}
		if(!~f) for(int i=0;i<n;++i) a[i]=a[i]/n;
	}
	void mult(int *a,int *b,int *c,int n,int p)
	{
		for(L=0,m=1;m<=n;m<<=1,++L);
		for(int i=0;i<m;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
		for(int i=0;i<n;++i) A[i]=cd(a[i],0),B[i]=cd(b[i],0);
		for(int i=n;i<m;++i) A[i]=B[i]=cd(0,0);
		fft(A,m,1);fft(B,m,1);
		for(int i=0;i<m;++i) A[i]=A[i]*B[i];
		fft(A,m,-1);
		for(int i=0;i<m;++i) c[i]=(ll)(A[i].r+0.5)%p;
	}
}

namespace DreamLolita
{
	int T,p,len,ans,n;
	int a[N],bit[N],f[30][N];
	char s[N];
	int getmod()
	{
		int res=0;
		for(int i=len;i;--i) res=(res*10+a[i])%p;
		return res;
	}
	void divide()
	{
		int res=0;
		for(int i=len;i;--i) res=res*10+a[i],a[i]=res/p,res%=p;
		for(;len && !a[len];--len);
	}
	void solve(int l,int r,int dep)
	{
		int len=r-l+1;
		for(int i=0;i<=len<<1;++i) f[dep][i]=0;
		if(l==r) {f[dep][0]=1;f[dep][1]=l;return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		solve(l,mid,dep);solve(mid+1,r,dep+1);
		Poly::mult(f[dep],f[dep+1],f[dep],(r-l+1),p);//wrong because (r-l+2),cross the limits
	}
	void solution()
	{
		scanf("%d",&T);
		while(T--)
		{
			scanf("%s%d",s+1,&p);len=strlen(s+1);
			reverse(s+1,s+len+1);
			for(int i=1;i<=len;++i) a[i]=s[i]-'0';
			for(n=0;len;){bit[++n]=getmod();divide();}
			bit[n+1]=0;
			if(bit[1]==p-1)
			{
				bit[1]=0;
				for(int i=2;;++i)
				{
					n=max(n,i);
					if(++bit[i]==p) bit[i]=0;
					else break;
				}
			}
			solve(0,bit[1],0);ans=0;
			for(int i=0;i<=bit[1];++i) if(f[0][i]) ++ans;
			for(int i=2;i<=n;++i) ans=1ll*ans*(bit[i]+1)%mod;
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CC_LUCASTH.in","r",stdin);
	freopen("CC_LUCASTH.out","w",stdout);
#endif 
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}

【多项式转化+分治FFT+大整数处理】CC_LUCASTH Lucas Theorem

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