一、数论
1.唯一分解定理：
题目：[lightoj1341](https://vjudge.net/contest/234388#problem/G),
题解：点击打开链接
[POJ1730](https://vjudge.net/contest/234388#problem/F)
题解：点击打开链接
2.Eratosthenes筛法：
埃氏筛素数：
int m=sqrt(n+0.5);
memset(vis,0,sizeof(vis)); //vis[i]=0表示i是素数。
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
{
vis[j]=1;
}
}素数定理：π（x）~x/ln(x)
3.扩展欧几里得算法：
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)//ax+by=gcd(a,b),d是gcd(a,b)
{
if(!b)
{d=a;x=1;y=0;}
else
{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}结论1：若方程ax+by=c的一组整数解为（x0,y0），则它的任意整数解可以写成（x0+kb',y0-k1'），其中a'=a/gcd(a,b),b'=
b/gcd(a,b),k取任意整数。
结论2：设a,c,b为任意整数，g=gcd(a,b)，方程ax+by=g的一组解是(x0,y0),则当c是g的倍数时，一组解为（x0c/g,y0c/g）；当c不是g的倍数时无整数解。
题目：UVA 12169 ：点击打开链接
题解：点击打开链接
4.同余模算术：
公式：（a+b）%n=((a%n)+(b%n))%n
(a-b)%n=((a%n)-(b%n)+n)%n
ab%n=(a%n)(b%n)%n
大整数取模：
scanf("%s%d",n,&m);
int len=strlen(n);
int ans=0;
for(int i=0;i<len;i++)
ans=(int)(((long long)ans*10+n[i]-'0')%m);
printf("%d\n",ans);同余模方程：ax≡b(mod n)
a≡b(mod n)的含义是“a和b关于模n同余”，即a mod n =b mod n。不难得出，a≡b(mod n)的充要条件是：a-b是n的整数倍。
方程ax≡1(mod n)的解称为a关于模n的逆。当gcd(a,n)=1时，该方程有唯一解；否则，该方程无解。
若求最小正整数解，则x%(n/gcd(a,b))
例题：POJ 2115
题解：点击打开链接
5.Miller_Rabin测试大素数：
1 费马小定理： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）
费马小定理是p为质数的必要条件。
题目：UVA 10871
题解：点击打开链接
6.中国剩余定理（孙子定理）：
设m1,…，mk是两两互质的正整数，那么对于a1,…,ak来说，一次同余方程组x≡ai(modmi)，必有解
唯一解为 x=∑(1~k) Mi*ai*Mi^(-1)(mod m)
m=m1*m2*…mk，Mi=m/mi，Mi^(-1)为Mi对于模mi的逆.
求乘法逆元:MiMi^(-1)≡1（%mi）,得到MiMi^(-1)+ymi=1然后扩欧,x就是Mi^(-1)模板：点击打开链接
例题：poj 1006
题解：点击打开链接
7.积性函数（f(ab)=f(a)f(b)）
1️⃣ 欧拉函数φ（n）,用于计算｛1，2……n｝与n互质的正整数个数
欧拉函数的定义：对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
φ(n)=n-1 n为素数；φ（n）<n-1 n为合数 ；若m、n互质，则φ(mn)=φ(m)φ(n)
φ(n）是积性函数，但不是完全积性函数
p为质数，k为素数，则φ（p^k）=φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)
欧拉定理：若n和a互质，则a^(φ(n))≡1（mod n）
推论：对于互质的a,n，满足a^(φ(n)+1)≡a(mod n)
费马定理：若a、p互质，则a^(p-1)≡1（mod p） （判断素数）
欧拉函数性质 1：∑φ(d)=n ，d与n互质
2：当n>1时，1……n中与n互质的整数和为nφ(n)/2
模板：点击打开链接
阶和原根：阶和原根
2️⃣莫比乌斯反演：入门