三维精密测量（二）曲率滤波

曲率滤波

本文重点

图像边界往往存在噪声，在获取亚像素级边缘点后，必须对边缘点进行滤波。本文提出一种基于圆曲率的边缘点滤波方法，这种方法很简单，但是却有很好的滤波效果。

1. 曲率简单介绍

曲率是曲线的一个重要特征，它在一定程度上反映了曲线的弯曲程度，对于二维曲线，曲率定义为

${\rm{k}} = \frac{{\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{f''}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {f'} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}$ 式（1.1）

对于同一平面内的任意三个连续点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，如图1所示，(x2,y2)的曲率定义为

${\rm{k}} = \frac{1}{r} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {x0 - x2} \right)}^2} + {{\left( {y0 - y2} \right)}^2}} }}$ 式（1.2）

式中(x0,y0)为这三点组成圆的圆心，且有

${\rm{x}}0 = \frac{{a - b + c}}{d}$

${\rm{y}}0 = \frac{{e - f + g}}{{ - d}}$

a=(x1+x2)(x2-x1)(y3-y2)

b=(x2+x3)(x3-x2)(y2-y1)

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c=(y1-y3)(y2-y1)(y3-y2)

d=2[(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)]

e=(y1+y2)(y2-y1)(x3-x2)

f=(y2+y3)(y3-y2)(x2-x1)

g=(x1-x3)(x2-x1)(x3-x2)

圆上某点曲率

图一

推导方法由三个点共面，三个点到圆心距离相等求得。

即

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}x&y&z&1\\{x1}&{y1}&{z1}&1\\{x2}&{y2}&{z2}&1\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x3}&{y3}&{z3}&1\end{array}}\end{array}} \right| = 0$ (1)
R² = (x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)² (2)

R² = (x2-x0)²+(y2-y0)²+(z2-z0)² (3)

R² = (x3-x0)²+(y3-y0)²+(z3-z0)² (4)

2. 滤波原理及算法

在标准圆中，其边缘点的曲率相同，都等于标准半径的倒数。而在实际中，由于边缘点不是在理想的圆周点，边缘点的曲率会在某个值附近波动，这个值可以根据半径粗定位获得，称之为圆的粗定位曲率。如果边缘点存在噪声，该点的曲率在粗定位曲率附近有较大的波动，即该点曲率与粗定位曲率之差大于某个阈值（阈值通过实际情况判断）。通过式1.1知，一个噪声点会影响其临近的两个点的曲率值，因此只有当一个点的前后两个点的粗定位曲率都大于阈值，该点本身曲率也大于阈值，则该点才是噪声点，这样计算出的亚像素边缘经过曲率过滤会更接近标准圆。

具体算法：

Step1：根据式（1.2）求得各个亚像素级边缘点的曲率。

Step2：令粗定位曲率为c（其值为粗定位圆半径的倒数），阈值为t，当前点为P（x0,y0），当前点，前一点，后一点曲率分别为Q₀, Q_-1,Q₁。如果满足以下三个条件时，则认为点P（x0,y0）为噪声点，予以剔除。

条件1：|Q₀-c|>t;

条件2：|Q_-1-c|>t;

条件3：|Q₁-c|>t.

【结束】