零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络

无论即将到来的是大数据时代还是人工智能时代，亦或是传统行业使用人工智能在云上处理大数据的时代，作为一个有理想有追求的程序员，不懂深度学习（Deep Learning）这个超热的技术，会不会感觉马上就out了？现在救命稻草来了，《零基础入门深度学习》系列文章旨在讲帮助爱编程的你从零基础达到入门级水平。零基础意味着你不需要太多的数学知识，只要会写程序就行了，没错，这是专门为程序员写的文章。虽然文中会有很多公式你也许看不懂，但同时也会有更多的代码，程序员的你一定能看懂的（我周围是一群狂热的Clean Code程序员，所以我写的代码也不会很差）。

往期回顾

在前面的文章系列文章中，我们介绍了全连接神经网络和卷积神经网络，以及它们的训练和使用。他们都只能单独的取处理一个个的输入，前一个输入和后一个输入是完全没有关系的。但是，某些任务需要能够更好的处理序列的信息，即前面的输入和后面的输入是有关系的。比如，当我们在理解一句话意思时，孤立的理解这句话的每个词是不够的，我们需要处理这些词连接起来的整个序列；当我们处理视频的时候，我们也不能只单独的去分析每一帧，而要分析这些帧连接起来的整个序列。这时，就需要用到深度学习领域中另一类非常重要神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Network)。RNN种类很多，也比较绕脑子。不过读者不用担心，本文将一如既往的对复杂的东西剥茧抽丝，帮助您理解RNNs以及它的训练算法，并动手实现一个循环神经网络。

语言模型

RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的，比如，RNN可以为语言模型来建模。那么，什么是语言模型呢？

我们可以和电脑玩一个游戏，我们写出一个句子前面的一些词，然后，让电脑帮我们写下接下来的一个词。比如下面这句：

我昨天上学迟到了，老师批评了____。

我们给电脑展示了这句话前面这些词，然后，让电脑写下接下来的一个词。在这个例子中，接下来的这个词最有可能是『我』，而不太可能是『小明』，甚至是『吃饭』。

语言模型就是这样的东西：给定一个一句话前面的部分，预测接下来最有可能的一个词是什么。

语言模型是对一种语言的特征进行建模，它有很多很多用处。比如在语音转文本(STT)的应用中，声学模型输出的结果，往往是若干个可能的候选词，这时候就需要语言模型来从这些候选词中选择一个最可能的。当然，它同样也可以用在图像到文本的识别中(OCR)。

使用RNN之前，语言模型主要是采用N-Gram。N可以是一个自然数，比如2或者3。它的含义是，假设一个词出现的概率只与前面N个词相关。我们以2-Gram为例。首先，对前面的一句话进行切词：

我 昨天 上学 迟到 了 ，老师 批评 了 ____。

如果用2-Gram进行建模，那么电脑在预测的时候，只会看到前面的『了』，然后，电脑会在语料库中，搜索『了』后面最可能的一个词。不管最后电脑选的是不是『我』，我们都知道这个模型是不靠谱的，因为『了』前面说了那么一大堆实际上是没有用到的。如果是3-Gram模型呢，会搜索『批评了』后面最可能的词，感觉上比2-Gram靠谱了不少，但还是远远不够的。因为这句话最关键的信息『我』，远在9个词之前！

现在读者可能会想，可以提升继续提升N的值呀，比如4-Gram、5-Gram.......。实际上，这个想法是没有实用性的。因为我们想处理任意长度的句子，N设为多少都不合适；另外，模型的大小和N的关系是指数级的，4-Gram模型就会占用海量的存储空间。

所以，该轮到RNN出场了，RNN理论上可以往前看(往后看)任意多个词。

循环神经网络是啥

循环神经网络种类繁多，我们先从最简单的基本循环神经网络开始吧。

基本循环神经网络

下图是一个简单的循环神经网络如，它由输入层、一个隐藏层和一个输出层组成：

纳尼？！相信第一次看到这个玩意的读者内心和我一样是崩溃的。因为循环神经网络实在是太难画出来了，网上所有大神们都不得不用了这种抽象艺术手法。不过，静下心来仔细看看的话，其实也是很好理解的。如果把上面有W的那个带箭头的圈去掉，它就变成了最普通的全连接神经网络。x是一个向量，它表示输入层的值（这里面没有画出来表示神经元节点的圆圈）；s是一个向量，它表示隐藏层的值（这里隐藏层面画了一个节点，你也可以想象这一层其实是多个节点，节点数与向量s的维度相同）；U是输入层到隐藏层的权重矩阵（读者可以回到第三篇文章零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法，看看我们是怎样用矩阵来表示全连接神经网络的计算的）；o也是一个向量，它表示输出层的值；V是隐藏层到输出层的权重矩阵。那么，现在我们来看看W是什么。循环神经网络的隐藏层的值s不仅仅取决于当前这次的输入x，还取决于上一次隐藏层的值s。权重矩阵 W就是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。

如果我们把上面的图展开，循环神经网络也可以画成下面这个样子：

现在看上去就比较清楚了，这个网络在t时刻接收到输入之后，隐藏层的值是，输出值是。关键一点是，的值不仅仅取决于，还取决于。我们可以用下面的公式来表示循环神经网络的计算方法：

式式

式1是输出层的计算公式，输出层是一个全连接层，也就是它的每个节点都和隐藏层的每个节点相连。V是输出层的权重矩阵，g是激活函数。式2是隐藏层的计算公式，它是循环层。U是输入x的权重矩阵，W是上一次的值作为这一次的输入的权重矩阵，f是激活函数。

从上面的公式我们可以看出，循环层和全连接层的区别就是循环层多了一个权重矩阵 W。

如果反复把式2带入到式1，我们将得到：

从上面可以看出，循环神经网络的输出值，是受前面历次输入值、、、、...影响的，这就是为什么循环神经网络可以往前看任意多个输入值的原因。

双向循环神经网络

对于语言模型来说，很多时候光看前面的词是不够的，比如下面这句话：

我的手机坏了，我打算____一部新手机。

可以想象，如果我们只看横线前面的词，手机坏了，那么我是打算修一修？换一部新的？还是大哭一场？这些都是无法确定的。但如果我们也看到了横线后面的词是『一部新手机』，那么，横线上的词填『买』的概率就大得多了。

在上一小节中的基本循环神经网络是无法对此进行建模的，因此，我们需要双向循环神经网络，如下图所示：

当遇到这种从未来穿越回来的场景时，难免处于懵逼的状态。不过我们还是可以用屡试不爽的老办法：先分析一个特殊场景，然后再总结一般规律。我们先考虑上图中，的计算。

从上图可以看出，双向卷积神经网络的隐藏层要保存两个值，一个A参与正向计算，另一个值A'参与反向计算。最终的输出值取决于和。其计算方法为：

和则分别计算：

现在，我们已经可以看出一般的规律：正向计算时，隐藏层的值与有关；反向计算时，隐藏层的值与有关；最终的输出取决于正向和反向计算的加和。现在，我们仿照式1和式2，写出双向循环神经网络的计算方法：

从上面三个公式我们可以看到，正向计算和反向计算不共享权重，也就是说U和U'、W和W'、V和V'都是不同的权重矩阵。

深度循环神经网络

前面我们介绍的循环神经网络只有一个隐藏层，我们当然也可以堆叠两个以上的隐藏层，这样就得到了深度循环神经网络。如下图所示：

我们把第i个隐藏层的值表示为、，则深度循环神经网络的计算方式可以表示为：

循环神经网络的训练

循环神经网络的训练算法：BPTT

BPTT算法是针对循环层的训练算法，它的基本原理和BP算法是一样的，也包含同样的三个步骤：

1. 前向计算每个神经元的输出值；
2. 反向计算每个神经元的误差项值，它是误差函数E对神经元j的加权输入的偏导数；
3. 计算每个权重的梯度。

最后再用随机梯度下降算法更新权重。

循环层如下图所示：

前向计算

使用前面的式2对循环层进行前向计算：

注意，上面的、、都是向量，用黑体字母表示；而U、V是矩阵，用大写字母表示。向量的下标表示时刻，例如，表示在t时刻向量s的值。

我们假设输入向量x的维度是m，输出向量s的维度是n，则矩阵U的维度是，矩阵W的维度是。下面是上式展开成矩阵的样子，看起来更直观一些：

在这里我们用手写体字母表示向量的一个元素，它的下标表示它是这个向量的第几个元素，它的上标表示第几个时刻。例如，表示向量s的第j个元素在t时刻的值。表示输入层第i个神经元到循环层第j个神经元的权重。表示循环层第t-1时刻的第i个神经元到循环层第t个时刻的第j个神经元的权重。

误差项的计算

BTPP算法将第l层t时刻的误差项值沿两个方向传播，一个方向是其传递到上一层网络，得到，这部分只和权重矩阵U有关；另一个是方向是将其沿时间线传递到初始时刻，得到，这部分只和权重矩阵W有关。

我们用向量表示神经元在t时刻的加权输入，因为：

因此：

我们用a表示列向量，用表示行向量。上式的第一项是向量函数对向量求导，其结果为Jacobian矩阵：

同理，上式第二项也是一个Jacobian矩阵：

其中，diag[a]表示根据向量a创建一个对角矩阵，即

最后，将两项合在一起，可得：

上式描述了将沿时间往前传递一个时刻的规律，有了这个规律，我们就可以求得任意时刻k的误差项：

式

式3就是将误差项沿时间反向传播的算法。

循环层将误差项反向传递到上一层网络，与普通的全连接层是完全一样的，这在前面的文章零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法中已经详细讲过了，在此仅简要描述一下。

循环层的加权输入与上一层的加权输入关系如下：

上式中是第l层神经元的加权输入(假设第l层是循环层)；是第l-1层神经元的加权输入；是第l-1层神经元的输出；是第l-1层的激活函数。

所以，

式

式4就是将误差项传递到上一层算法。

权重梯度的计算

现在，我们终于来到了BPTT算法的最后一步：计算每个权重的梯度。

首先，我们计算误差函数E对权重矩阵W的梯度。

上图展示了我们到目前为止，在前两步中已经计算得到的量，包括每个时刻t 循环层的输出值，以及误差项。

回忆一下我们在文章零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法介绍的全连接网络的权重梯度计算算法：只要知道了任意一个时刻的误差项，以及上一个时刻循环层的输出值，就可以按照下面的公式求出权重矩阵在t时刻的梯度：

式

在式5中，表示t时刻误差项向量的第i个分量；表示t-1时刻循环层第i个神经元的输出值。

我们下面可以简单推导一下式5。

我们知道：

因为对W求导与无关，我们不再考虑。现在，我们考虑对权重项求导。通过观察上式我们可以看到只与有关，所以：

按照上面的规律就可以生成式5里面的矩阵。

我们已经求得了权重矩阵W在t时刻的梯度，最终的梯度是各个时刻的梯度之和：

式

式6就是计算循环层权重矩阵W的梯度的公式。

----------数学公式超高能预警----------

前面已经介绍了的计算方法，看上去还是比较直观的。然而，读者也许会困惑，为什么最终的梯度是各个时刻的梯度之和呢？我们前面只是直接用了这个结论，实际上这里面是有道理的，只是这个数学推导比较绕脑子。感兴趣的同学可以仔细阅读接下来这一段，它用到了矩阵对矩阵求导、张量与向量相乘运算的一些法则。

我们还是从这个式子开始：

因为与W完全无关，我们把它看做常量。现在，考虑第一个式子加号右边的部分，因为W和都是W的函数，因此我们要用到大学里面都学过的导数乘法运算：

因此，上面第一个式子写成：

我们最终需要计算的是：

式

我们先计算式7加号左边的部分。是矩阵对矩阵求导，其结果是一个四维张量(tensor)，如下所示：

接下来，我们知道，它是一个列向量。我们让上面的四维张量与这个向量相乘，得到了一个三维张量，再左乘行向量，最终得到一个矩阵：

接下来，我们计算式7加号右边的部分：

于是，我们得到了如下递推公式：

这样，我们就证明了：最终的梯度是各个时刻的梯度之和。

----------数学公式超高能预警解除----------

同权重矩阵W类似，我们可以得到权重矩阵U的计算方法。

式

式8是误差函数在t时刻对权重矩阵U的梯度。和权重矩阵W一样，最终的梯度也是各个时刻的梯度之和：

具体的证明这里就不再赘述了，感兴趣的读者可以练习推导一下。

RNN的梯度爆炸和消失问题

不幸的是，实践中前面介绍的几种RNNs并不能很好的处理较长的序列。一个主要的原因是，RNN在训练中很容易发生梯度爆炸和梯度消失，这导致训练时梯度不能在较长序列中一直传递下去，从而使RNN无法捕捉到长距离的影响。

为什么RNN会产生梯度爆炸和消失问题呢？我们接下来将详细分析一下原因。我们根据式3可得：

上式的定义为矩阵的模的上界。因为上式是一个指数函数，如果t-k很大的话（也就是向前看很远的时候），会导致对应的误差项的值增长或缩小的非常快，这样就会导致相应的梯度爆炸和梯度消失问题（取决于大于1还是小于1）。

通常来说，梯度爆炸更容易处理一些。因为梯度爆炸的时候，我们的程序会收到NaN错误。我们也可以设置一个梯度阈值，当梯度超过这个阈值的时候可以直接截取。

梯度消失更难检测，而且也更难处理一些。总的来说，我们有三种方法应对梯度消失问题：

1. 合理的初始化权重值。初始化权重，使每个神经元尽可能不要取极大或极小值，以躲开梯度消失的区域。
2. 使用relu代替sigmoid和tanh作为激活函数。原理请参考上一篇文章零基础入门深度学习(4) - 卷积神经网络的激活函数一节。
3. 使用其他结构的RNNs，比如长短时记忆网络（LTSM）和Gated Recurrent Unit（GRU），这是最流行的做法。我们将在以后的文章中介绍这两种网络。

RNN的应用举例——基于RNN的语言模型

现在，我们介绍一下基于RNN语言模型。我们首先把词依次输入到循环神经网络中，每输入一个词，循环神经网络就输出截止到目前为止，下一个最可能的词。例如，当我们依次输入：

我 昨天 上学 迟到 了

神经网络的输出如下图所示：

其中，s和e是两个特殊的词，分别表示一个序列的开始和结束。

向量化

我们知道，神经网络的输入和输出都是向量，为了让语言模型能够被神经网络处理，我们必须把词表达为向量的形式，这样神经网络才能处理它。

神经网络的输入是词，我们可以用下面的步骤对输入进行向量化：

1. 建立一个包含所有词的词典，每个词在词典里面有一个唯一的编号。
2. 任意一个词都可以用一个N维的one-hot向量来表示。其中，N是词典中包含的词的个数。假设一个词在词典中的编号是i，v是表示这个词的向量，是向量的第j个元素，则：

上面这个公式的含义，可以用下面的图来直观的表示：

使用这种向量化方法，我们就得到了一个高维、稀疏的向量（稀疏是指绝大部分元素的值都是0）。处理这样的向量会导致我们的神经网络有很多的参数，带来庞大的计算量。因此，往往会需要使用一些降维方法，将高维的稀疏向量转变为低维的稠密向量。不过这个话题我们就不再这篇文章中讨论了。

语言模型要求的输出是下一个最可能的词，我们可以让循环神经网络计算计算词典中每个词是下一个词的概率，这样，概率最大的词就是下一个最可能的词。因此，神经网络的输出向量也是一个N维向量，向量中的每个元素对应着词典中相应的词是下一个词的概率。如下图所示：

Softmax层

前面提到，语言模型是对下一个词出现的概率进行建模。那么，怎样让神经网络输出概率呢？方法就是用softmax层作为神经网络的输出层。

我们先来看一下softmax函数的定义：

这个公式看起来可能很晕，我们举一个例子。Softmax层如下图所示：

从上图我们可以看到，softmax layer的输入是一个向量，输出也是一个向量，两个向量的维度是一样的（在这个例子里面是4）。输入向量x=[1 2 3 4]经过softmax层之后，经过上面的softmax函数计算，转变为输出向量y=[0.03 0.09 0.24 0.64]。计算过程为：

我们来看看输出向量y的特征：

1. 每一项为取值为0-1之间的正数；
2. 所有项的总和是1。

我们不难发现，这些特征和概率的特征是一样的，因此我们可以把它们看做是概率。对于语言模型来说，我们可以认为模型预测下一个词是词典中第一个词的概率是0.03，是词典中第二个词的概率是0.09，以此类推。

语言模型的训练

可以使用监督学习的方法对语言模型进行训练，首先，需要准备训练数据集。接下来，我们介绍怎样把语料

我 昨天 上学 迟到 了

转换成语言模型的训练数据集。

首先，我们获取输入-标签对：

输入	标签
s	我
我	昨天
昨天	上学
上学	迟到
迟到	了
了	e

然后，使用前面介绍过的向量化方法，对输入x和标签y进行向量化。这里面有意思的是，对标签y进行向量化，其结果也是一个one-hot向量。例如，我们对标签『我』进行向量化，得到的向量中，只有第2019个元素的值是1，其他位置的元素的值都是0。它的含义就是下一个词是『我』的概率是1，是其它词的概率都是0。

最后，我们使用交叉熵误差函数作为优化目标，对模型进行优化。

在实际工程中，我们可以使用大量的语料来对模型进行训练，获取训练数据和训练的方法都是相同的。

交叉熵误差

一般来说，当神经网络的输出层是softmax层时，对应的误差函数E通常选择交叉熵误差函数，其定义如下：

在上式中，N是训练样本的个数，向量是样本的标记，向量是网络的输出。标记是一个one-hot向量，例如，如果网络的输出，那么，交叉熵误差是（假设只有一个训练样本，即N=1）：

我们当然可以选择其他函数作为我们的误差函数，比如最小平方误差函数(MSE)。不过对概率进行建模时，选择交叉熵误差函数更make sense。具体原因，感兴趣的读者请阅读参考文献7。

RNN的实现

完整代码请参考GitHub: https://github.com/hanbt/learn_dl/blob/master/rnn.py (python2.7)

为了加深我们对前面介绍的知识的理解，我们来动手实现一个RNN层。我们复用了上一篇文章零基础入门深度学习(4) - 卷积神经网络中的一些代码，所以先把它们导入进来。

1. import numpy as np
2. from cnn import ReluActivator, IdentityActivator, element_wise_op

我们用RecurrentLayer类来实现一个循环层。下面的代码是初始化一个循环层，可以在构造函数中设置卷积层的超参数。我们注意到，循环层有两个权重数组，U和W。

1. class RecurrentLayer(object):
2. def __init__(self, input_width, state_width,
3. activator, learning_rate):
5. self.input_width = input_width
6. self.state_width = state_width
7. self.activator = activator
8. self.learning_rate = learning_rate
9. self.times = 0 # 当前时刻初始化为t0
10. self.state_list = [] # 保存各个时刻的state
11. self.state_list.append(np.zeros(
12. (state_width, 1))) # 初始化s0
13. self.U = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
14. (state_width, input_width)) # 初始化U
15. self.W = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
16. (state_width, state_width)) # 初始化W

在forward方法中，实现循环层的前向计算，这部分比较简单。

1. def forward(self, input_array):
2. '''
3. 根据『式2』进行前向计算
4. '''
5. self.times += 1
6. state = (np.dot(self.U, input_array) +
7. np.dot(self.W, self.state_list[-1]))
8. element_wise_op(state, self.activator.forward)
9. self.state_list.append(state)

在backword方法中，实现BPTT算法。

1. def backward(self, sensitivity_array,
2. activator):
3. '''
4. 实现BPTT算法
5. '''
6. self.calc_delta(sensitivity_array, activator)
7. self.calc_gradient()
9. def calc_delta(self, sensitivity_array, activator):
10. self.delta_list = [] # 用来保存各个时刻的误差项
11. for i in range(self.times):
12. self.delta_list.append(np.zeros(
13. (self.state_width, 1)))
14. self.delta_list.append(sensitivity_array)
15. # 迭代计算每个时刻的误差项
16. for k in range(self.times - 1, 0, -1):
17. self.calc_delta_k(k, activator)
19. def calc_delta_k(self, k, activator):
20. '''
21. 根据k+1时刻的delta计算k时刻的delta
22. '''
23. state = self.state_list[k+1].copy()
24. element_wise_op(self.state_list[k+1],
25. activator.backward)
26. self.delta_list[k] = np.dot(
27. np.dot(self.delta_list[k+1].T, self.W),
28. np.diag(state[:,0])).T
30. def calc_gradient(self):
31. self.gradient_list = [] # 保存各个时刻的权重梯度
32. for t in range(self.times + 1):
33. self.gradient_list.append(np.zeros(
34. (self.state_width, self.state_width)))
35. for t in range(self.times, 0, -1):
36. self.calc_gradient_t(t)
37. # 实际的梯度是各个时刻梯度之和
38. self.gradient = reduce(
39. lambda a, b: a + b, self.gradient_list,
40. self.gradient_list[0]) # [0]被初始化为0且没有被修改过
42. def calc_gradient_t(self, t):
43. '''
44. 计算每个时刻t权重的梯度
45. '''
46. gradient = np.dot(self.delta_list[t],
47. self.state_list[t-1].T)
48. self.gradient_list[t] = gradient

有意思的是，BPTT算法虽然数学推导的过程很麻烦，但是写成代码却并不复杂。

在update方法中，实现梯度下降算法。

1. def update(self):
2. '''
3. 按照梯度下降，更新权重
4. '''
5. self.W -= self.learning_rate * self.gradient

上面的代码不包含权重U的更新。这部分实际上和全连接神经网络是一样的，留给感兴趣的读者自己来完成吧。

循环层是一个带状态的层，每次forword都会改变循环层的内部状态，这给梯度检查带来了麻烦。因此，我们需要一个reset_state方法，来重置循环层的内部状态。

1. def reset_state(self):
2. self.times = 0 # 当前时刻初始化为t0
3. self.state_list = [] # 保存各个时刻的state
4. self.state_list.append(np.zeros(
5. (self.state_width, 1))) # 初始化s0

最后，是梯度检查的代码。

1. def gradient_check():
2. '''
3. 梯度检查
4. '''
5. # 设计一个误差函数，取所有节点输出项之和
6. error_function = lambda o: o.sum()
8. rl = RecurrentLayer(3, 2, IdentityActivator(), 1e-3)
10. # 计算forward值
11. x, d = data_set()
12. rl.forward(x[0])
13. rl.forward(x[1])
15. # 求取sensitivity map
16. sensitivity_array = np.ones(rl.state_list[-1].shape,
17. dtype=np.float64)
18. # 计算梯度
19. rl.backward(sensitivity_array, IdentityActivator())
21. # 检查梯度
22. epsilon = 10e-4
23. for i in range(rl.W.shape[0]):
24. for j in range(rl.W.shape[1]):
25. rl.W[i,j] += epsilon
26. rl.reset_state()
27. rl.forward(x[0])
28. rl.forward(x[1])
29. err1 = error_function(rl.state_list[-1])
30. rl.W[i,j] -= 2*epsilon
31. rl.reset_state()
32. rl.forward(x[0])
33. rl.forward(x[1])
34. err2 = error_function(rl.state_list[-1])
35. expect_grad = (err1 - err2) / (2 * epsilon)
36. rl.W[i,j] += epsilon
37. print 'weights(%d,%d): expected - actural %f - %f' % (
38. i, j, expect_grad, rl.gradient[i,j])

需要注意，每次计算error之前，都要调用reset_state方法重置循环层的内部状态。下面是梯度检查的结果，没问题！

小节

至此，我们讲完了基本的循环神经网络、它的训练算法：BPTT，以及在语言模型上的应用。RNN比较烧脑，相信拿下前几篇文章的读者们搞定这篇文章也不在话下吧！然而，循环神经网络这个话题并没有完结。我们在前面说到过，基本的循环神经网络存在梯度爆炸和梯度消失问题，并不能真正的处理好长距离的依赖（虽然有一些技巧可以减轻这些问题）。事实上，真正得到广泛的应用的是循环神经网络的一个变体：长短时记忆网络。它内部有一些特殊的结构，可以很好的处理长距离的依赖，我们将在下一篇文章中详细的介绍它。现在，让我们稍事休息，准备挑战更为烧脑的长短时记忆网络吧。