分数背包问题(贪心算法)O(n)时间求解

算法核心:线性时间选择算法+贪心

问题介绍:有一个背包,总限重为c, 还有一系列物品,他们有各自的重量(记为$w_i$)和各自的利润$p_i$,每个物品可以只被拿走一部分。设计一个在O(n)时间内的贪心算法使得装入背包的物品利润最大化,并且总物品重量不超过$c$

算法数学化表示:

maximize \ \ \sum \limits_{k = 1}^{n} p_ix_i

subject \ to \ \sum \limits_{k = 1}^n w_ix_i \leq c,

x_i \in [0,1]

算法步骤:

1.给每个物品设计一个性价比公式d_i =\frac{p_i}{w_i}

2. 找出所有物品性价比的中位数median,记为m。

3. 将物品按照性价比,使用修改过的Partition进行划分,R_1 = \{w_i | d_i < m\}, R_2 = \{w_i | d_i = m\},R_3 = \{w_i | d_i > m\}.

4.如果R_3的总重量超过c,则直接递归调用算法对R_3进行求解。如果R_2和R_3的总重量超过c,则递归调用算法对R_2进行求解。否则对R_1进行递归求解。

算法复杂度:T(n) = T(\frac{n}{2}) + O(n)

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