DAG模型

有向无环图（DAG,Directed Acyclic Graph）

嵌套矩形链接
最长路及其字典序
如何求DAG中不固定起点的最长路径呢
设d(i)表示从节点i出发的最长路长度，转移方程： d(i) = max{d(j)+1|(i,j)∈E }

int dp(int i)
{
    int& ans=d[i];//为表项d[i]声明一个引用ans，这样任何对ans的读写实际上都是在对d[i]进行
    if(ans>0) return ans;
    ans=1;
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        if(G[i][j]) ans=ans>(dp(j)+1)?ans:dp(j)+1;
    }
    return ans;
}


//为了是字典序最小
void print_ans(int i)
{
    printf("%d ",i);
    for(int j=1;j<=n;j++) if(G[i][j]&&d[i]==d[j]+1)
    {
        print_ans(j);
        break;
    }
}

硬币问题
固定终点的最长路和最短路
d(i) 的确切含义变为“从节点i出发到节点0的最长路径长度”

//求最长路的代码---------下面代码有些问题
int dp(int S)
{
    int& ans=d[S];
    if(ans>=0) return ans;
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(S>=V[i]) ans=ans>(dp(S-V[i])+1)?ans:(dp(S-V[i])+1);
    return ans;
}

//修改后---方法1
int dp(int S)
{
    int& ans=d[S];
    if(ans!=-1) return ans;
    ans=-1<<30;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(S>=V[i]) ans=max(ans,dp(S-V[i])+1);
    return ans;
}
//方法2
int dp(int S)
{
    if(vis[S]) return d[S];//vis[i]表示状态i是否被访问过
    vis[S]=1;
    int& ans=d[S];
    ans=-1<<30;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(S>=V[i]) ans=max(ans,dp(S-V[i])+1);
    return ans;
}

求最小，最大的两个值

min[0]=max[0]=0;
for(int i=1;i<=S;i++)
{
    min[i]=INF;max[i]=-INF;
}
for(int i=1;i<=S;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if(i>=V[j])
    {
        min[i]=min[i]<min[i-V[j]]+1?min[i]:min[i-V[j]]+1;
        max[i]=max[i]>max[i-V[j]]+1?max[i]:max[i-V[j]]+1;
    }
printf("%d %d\n",min[S],max[S]);

如何输出字典序最小的方案呢？

void print_ans(int* d,int S)  
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(S>=V[i]&&d[S]==d[S-V[i]]+1z)
        {
            printf("%d ",i);
            print_ans(d,S-V[i]);
            break;
        }
    
}

不少人喜欢用另外一种打印方法：递推时直接用min_coin[S]记录满足min[S]==min[S-V[j]]+1的最小的i，则打印省去print_ans函数中的循环，并方便地把递归写成迭代

for(int i=1;i<=S;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if(i>=V[j])
    {
        //注意判断中用的是“>"和”<"，原因在于“字典序最小解”要求当min/max值相同时取最小的i值。
        //反过来，如果j是从大到小枚举的，就需要把“>"和“<"改成”>="和“<="才能求出字典序最小解
        if(min[i]>min[i-V[j]]+1)
        {
            min[i]=min[i-V[j]]+1;
            min_coin[i]=j;
        }
        if(max[i]<max[i-V[j]]+1)
        {
            max[i]=max[i-V[j]]+1;
            max_coin[i]=j;
        }
    }
//只需调用print_ans(min_coin,S)和print_ans(max_coin,S)即可
void print_ans(int* d,int S)
{
    while(S)
    {
        printf("%d ",d[S]);
        S-=V[d[S]];
    }
}

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