硬币问题——DAG模型上的动态规划

硬币问题

Description

有n种硬币，面值分别为 V1,V2,…,Vn。每种都有无限多。给定非负整数S，问可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值。 1<=n<=100,0<=S<=10000,1<=Vi<=S;

首先确定状态也就是面值数额，最大值考虑的时候和嵌套矩形类似。

int d[10005];//用来储存每种面值数额的值
int V[105];	 //用来存放不同种硬币的面值。
void Initdp()
{
	memset(d,-1,sizeof(d); //这里要初始化 d数组。
	return ;
}
int dp(int S) //状态是面值数额 S
{
	if(d[S]>=0) //为什么要>=0 而不是大于0 因为当S为0的时候，d[0]=0，所以这种情况要考虑进来
		return d[s];
	d[s]=0;
	for(int i=0;i<n;i++) //n代表硬币的种类数，每一种都尝试一下
		if(V[i]<=S) //如果说当前这个硬币没有大于当前的面值额
			d[S]=max(d[S],dp(S-V[i])+1); //决策是 选择这枚硬币和不选择这枚硬币。
	return d[s];
}

最终代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int d[10005];//用来储存每种面值数额的值
int V[105];	 //用来存放不同种硬币的面值。
int n;
void Initdp()
{
	memset(d,-1,sizeof(d)); //这里要初始化 d数组。
	return ;
}
int dp(int S) //状态是面值数额 S
{
	if(d[S]>=0) //为什么要>=0 而不是大于0 因为当S为0的时候，d[0]=0，所以这种情况要考虑进来
		return d[S];
    d[S]=0;
	for(int i=0;i<n;i++) //n代表硬币的种类数，每一种都尝试一下
		if(V[i]<=S) //如果说当前这个硬币没有大于当前的面值额
			d[S]=max(d[S],dp(S-V[i])+1); //决策是 选择这枚硬币和不选择这枚硬币。
	return d[S];
}
int main()
{
    Initdp(); //初始化d数组
    cin>>n; // 输入硬币的种数
    for(int i=0;i<n;i++) //输入每种硬币的面值
        cin>>V[i];
    int S; //这个是面值额
    cin>>S;
    cout<<dp(S)<<endl; //最后输出即可
    return 0;
}

但是又会发现，S有可能走不到 0 也就是说终点

例如 当S=8时 n=1 而 Vi=3时，这时候S就不能走到0 也就是无法找到任何一种方法使得S为0。
但是这个程序也会输出，经验证输出的是2，但是这个是与题意相违背的。那么我们应该怎么做呢…

那么也就可以转换成这种形式（详情参考紫书）

int dp(int S)
{
}
	int & ans=d[S];
	if(ans!=-1) return ans;
	ans=-(1<<30);
	for(int i=1;i<n;i+)
		if(S>=V[i])
			ans=max(ans,dp(S-V[i])+1);
	return ans;