2018年9月22日提高组模拟赛 T2 今天你AK了吗

版权声明：转载无所谓的。。。 https://blog.csdn.net/xuxiayang/article/details/82812120

大意

求 $n$的全排列的第 $k$个

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思路

裸的逆康拓展可以直接拿60，套上高精度可拿70（优化可到80，甚至90）

但是，我们也可以通过一些公式来优化

$\frac{k}{n!}=\frac{\frac{k}{n-1}}{n}$

具体证明我也不懂，总之就是把逆康拓展先打出来，然后按公式改即可

具体证明：

还有下面这个玩意儿。。。

$x\ mod\ yz\ div\ z=x\ div\ z\ mod\ y$

证明：

$设a=a\ div\ z,b=x-ayz$则 $x=ayz+b$

$x\ mod\ yz\ div z=b\ div\ z$

$x\ div\ z\ mod y=(ayz+b)\ div\ z\ mod\ y=(ay+b\ div\ z)\ mod y=b\ div\ z\ mod\ y$

$\because b=x\ mod\ yz$

$\therefore b<yz$

$\therefore b\ div\ z<y$

$\therefore x\ mod\ yz\ div\ z=x\ div\ z\ mod\ y$

发现每次的除数都是之前的约数。
所以对于第i次除法的商，可以直接用 $k\ mod\ (n - i +1)!\ div\ (n - i)!$得到。
根据第二个结论， $k\ mod\ (n - i +1)!\ div\ (n - i)!=k\ div\ (n - i)!\ mod\ (n - i + 1)$
观察这个式子，再结合推论1，我们发现可以从大到小枚举 $i$，每次对 $k$除以i，得到的余数就是原第 $(n-i+1)$次除法的商。
因此求商的复杂度降为 $O(w^2)$， $w$是 $k$在十进制下有多少位。
由于只需要单精度除法，可以用long long压8位来做，并且随着被除数的不断减小，每次除法的复杂度降低。
所以复杂度大概是 $O(w^2/40)$。
这一部分的复杂度和 $n$无关

最后一个问题，怎么快速找当前没有被选的数中的第a大的数？
直接暴力是 $n^2$的。
套用数据结构(zkw)线段树，树状数组，splay或者分块思想都可以解决这个问
题，但是这显然超纲了

观察数据发现， $6100!>10^{20000}$，什么意思?

也就是最后一组数据的前 $20000-6100=13900$都为 $1,2,3,4,5,6,7,8……13897,13898,13898,13899,13900$这样我们就只需要在后面 $6100$个数中查找没有被选中的第 $a$大的数

这样的复杂度就是 $O(6100^2)$的，可以卡过本题。。。

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代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ymw 100000000//高精度压8位
using namespace std;
int l,n,len,t,k;char s[100001];
long long a[4001],kth[100001];
bool bz[100001];
signed main()
{
	scanf("%d %s",&n,s);
	len=strlen(s);
	l=4000;t=1;
	for(register int i=len-1;i>=0;i--)
	{
		a[l]+=(s[i]-48)*t;
		t=(t<<3)+(t<<1);
		if(t==ymw) t=1,l--;//每八位换下一个
	}
	int j=4000;
	for(;!a[j];a[j]=ymw-1,j--);//把所有的0都当成为99999999
	--a[j];//因为逆康拓展是求前面有多少个比它大的，而我们是要求第k个，所以要减一
	for(register int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(register int j=l;j<4000;j++)
		{
			long long x=a[j]/i;
			a[j+1]+=ymw*(a[j]-x*i);a[j]=x;//高精度除法
		}
		kth[n-i+1]=a[4000]%i+1;a[4000]/=i;//最后一位特判
		while(!a[l]) l++;//没了就往后推，节省循环
	}
	k=max(0,n-6100);//前面的数直接输出
	for(register int i=1;i<=k;i++) printf("%d ",i);//输出
	for(register int i=k+1;i<=n;i++)
	{
		int j=k+1,cnt=0;
		for(;cnt<kth[i];j++) if(!bz[j])++cnt;//找到第cnt个
		bz[--j]=1;printf("%d ",j);//前面cnt个都找到了，输出
	}
}