2018年9月8日提高组模拟赛 T1 最短路(path)

版权声明：转载无所谓的。。。 https://blog.csdn.net/xuxiayang/article/details/82529257

大意

给定$n$个点，$m$条边的有向图，给定一些必须经过的点，求最短路

---

思路1

看到这样的题目，可能会去想，把所有的点间的最短路加在一起不就行了吗？我们先来考虑其的正确性

命题

在$s$到$t$的最短路$P_{st}$中经过的点间的路也为这些点间的最短路

证明

设$a,b$为$P_{st}$中经过的点

假设$P_{ab}$在$P_{st}$之外，那么显然我们在走最短路走到$a$这个节点的时候，是可以直接走$P_{ab}$之间的最短路的

再假设$P_{bt}>P_{at}$，那么显然我们就不会经过$b$这个点，与假设矛盾，于是假设不成立，该命题成立

于是我们就得到了下面这个简单的代码

时间复杂度$O(KE)$其中$K$为途径点数

---

代码1

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;int l[100001],tot,n,m,k,a[14],x,y,z,dis[100001],ans;
bool vis[100001],ok;
struct node{int next,to,w;}e[100001];
inline void add(register int u,register int v,register int w){e[++tot]=(node){l[u],v,w};l[u]=tot;return;}
inline int read()
{
    char c;int d=1,f=0;
    while(c=getchar(),c<48||c>57)if(c=='-')d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    while(c=getchar(),c>47&&c<58)f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    return d*f;
}
inline void write(register int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+48);return;}
inline int spfa(register int s,register int t)//spfa求最短路
{
    queue<int>q;
    q.push(s);
    for(register int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0x3f3f3f3f;
    vis[s]=true;dis[s]=0;
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();q.pop();vis[x]=true;
        for(register int i=l[x];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to,w=e[i].w;
            if(dis[x]+w<dis[y])
            {
                dis[y]=dis[x]+w;
                if(!vis[y]) vis[y]=true,q.push(y);
            }
        }
        vis[x]=false;
    }
    if(dis[t]==0x3f3f3f3f) {ok=false;return -50234567;}
    return dis[t];
}
signed main()
{
    n=read();m=read();k=read();a[1]=read();a[k+2]=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++) x=read(),y=read(),z=read(),add(x,y,z);
    ok=true;
    for(register int i=2;i<=k+1&&ok;i++) a[i]=read(),ans+=spfa(a[i-1],a[i]);
    if(ok)ans+=spfa(a[k+1],a[k+2]);
    if(ok)printf("%d",ans);else printf("-1");//输出
}

---

但是！这种方法是不正确的！
因为，中间经过点的顺序是可以改变的，于是我们得到了下面这个思路

思路2

在基于上一种思路的情况下，新增通过方案，跑10!次运算，就可以通过本题

时间复杂度:$O(KE+10!)$

---

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;int l[100001],tot,n,m,k,a[14],x,y,z,s,t,b[11]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},bh[100001];
bool vis[100001],ok;
unsigned now,ans=2545678910,dis[100001],d[11][12];
struct node{int next,to,w;}e[100001];
inline void add(register int u,register int v,register int w){e[++tot]=(node){l[u],v,w};l[u]=tot;return;}
inline int read()
{
    char c;int d=1,f=0;
    while(c=getchar(),c<48||c>57)if(c=='-')d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    while(c=getchar(),c>47&&c<58)f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    return d*f;
}
inline void write(register unsigned x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+48);return;}
inline unsigned spfa(register int s,register int t)
{
    queue<int>q;
    q.push(s);
    for(register int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2545678910;
    vis[s]=true;dis[s]=0;
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();q.pop();vis[x]=true;
        for(register int i=l[x];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to,w=e[i].w;
            if(dis[x]+w<dis[y])
            {
                dis[y]=dis[x]+w;
                if(!vis[y]) vis[y]=true,q.push(y);
            }
        }
        vis[x]=false;
    }
    if(dis[t]==2545678910) {ok=false;return 2545678910;}
    return dis[t];
}
signed main()
{
    for(register int i=0;i<=10;i++)
     for(register int j=i+1;j<=11;j++) d[i][j]=d[j][i]=2545678910;
    n=read();m=read();k=read();s=read();t=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++) x=read(),y=read(),z=read(),add(x,y,z);
    d[0][k+1]=min(spfa(s,t),d[0][k+1]);
    for(register int i=1;i<=k;i++) 
    {
        a[i]=read();bh[a[i]]=i;
        d[0][i]=min(dis[a[i]],d[0][i]);//得到s点与所有点间的最短路
    }
    for(register int i=1;i<=k;i++)
    {
        d[i][k+1]=min(spfa(a[i],t),d[i][k+1]);
        for(register int j=1;j<=k;j++) d[i][j]=min(dis[a[j]],d[i][j]);
    }
    if(!k) ans=d[0][k+1];//特判
    else
    do
    {
        now=d[0][bh[a[b[1]]]]+d[bh[a[b[k]]]][k+1];
        for(register int i=2;i<=k;i++) 
        now+=d[bh[a[b[i-1]]]][bh[a[b[i]]]];
        if(now<ans) ans=now;
    }while(next_permutation(b+1,b+k+1));//枚举全排列
    if(ans>=2545678910) return printf("-1")&0;//输出
    write(ans);
}