费马小定理的解释即证明

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基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input示例

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Output示例

快速幂：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int phi;
long long int mod;
long long int poww(long long int a)
{

    int b=phi-1;
    long long ans=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        b=b>>1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
int getphi(int x)
{
    int sum=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            sum=sum/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) sum=sum/x*(x-1);
    return sum;
}
int main()
{
    long long int a;
    scanf("%lld %lld",&a,&mod);   
    phi=getphi(mod);

    long long  ans=poww(a);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

exgcd：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define ll long long
ll e_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll ans,p;
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
    p=x;
    x=y;y=p-a/b*y;
    return ans;
}
int main()
{
    long long m,n,c,d,e,q;
    while(scanf("%lld %lld",&m,&n)!=EOF)
    {
        c=e_gcd(m,n,d,e);
        q=(d%n+n)%n;
        printf("%lld\n",q);
    }
    return 0;
}

#include<cstdio>
void gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;y=0;
		return;
	}
	gcd(b,a%b,y,x); //不明处
	y=y-a/b*x; //不明处
}
int main()
{
	int m,n,x,y;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	gcd(m,n,x,y);
	printf("%d\n",(x%n+n)%n);
}

对于不明处的理解:

可以找到x,y,使得ax + by=c成立；

//这部分相当于依着gcd(b,a%b,y,x)推

如果找到x',y',使得下面的等式成立

by'+(a%b)x'=c

也就是

by'+(a-a/b*b)x'=c

也就是

ax'+b(y'-[a/b]x')=c

所以

x=x',y=y'-[a/b]x'

可以得到x与x'是相等的，只需改变y ----对应的就是代码中y=y-a/b*x;

费马小定理的解释即证明

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