NOI 2015 寿司晚宴 (状压DP+分组背包)

题目大意：两个人从2~n中随意取几个数(不取也算作一种方案)，被一个人取过的数不能被另一个人再取。两个人合法的取法是，其中一个人取的任何数必须与另一个人取的每一个数都互质，求所有合法的方案数

(数据范围毕竟很小，乍一看也不是啥打表找规律的题)

和我之前做过的一道题很类似hdu 6125，但这道题由于题面看起来很玄学，所以正解更难想

但还是状压DP+分组背包的套路

因为500以内的任何一个数，只会有一个大于19的质因子，所以对2 3 5 7 11 13 17 19这8个质数进行状压，然后每个数都质因数分解，把小于等于19的质因子存入状态，剩下的因子分组背包搞搞就行了，注意如果剩下的因子是1要单独算一组，否则会出大事情，比如2和3并不是同一组的，如果再来一个4，和2是同一组的，转移就会出错

具体DP的实现呢，定义 $dp[s1][s2]$ 是第一个人取了状态为s1的数，第二个人取了状态为s2的数

分组背包要把同一组的东西放到连续的一段序列上

对于这道题而言，如果某个人取了某一组的任何一个，那么这一组的其它物品也只能被这个人取/不取

所以额外定义两个状态f1,f2，含义和dp的意义是一样的，只不过在同一组内是f1和f2这两个状态自己和自己转移，然后把答案贡献给dp，即这一组对整体的贡献，然后把dp重新赋给f1,f2，再进行下一组背包

方程 $f1[s1|K][s2]+=f1[s1][s2]$ $f2[s1][s2|K]+=f2[s1][s2]$

由于f1,f2为了下一层转移，都被加了一次dp值，所以最后要减掉一个dp

即 $dp[s1][s2]=f1[s1][s2]+f2[s1][s2]-dp[s1][s2]$

而f1,f2转移也有技巧，常规的自己和自己转移为了避免传递性，要另外开一个数组进行转移。但因为这道题的转移方程都是位与|操作，具有递增性，所以倒序枚举就可以减少一些常数

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ui unsigned int
#define ll long long 
#define il inline
#define N (1<<8)+3
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int n;
ll p;
ll f1[N][N],f2[N][N],dp[N][N];
int pr[]={2,3,5,7,11,13,17,19};
struct node{
    int w,f;
    friend bool operator < (const node &a,const node &b){
        if(a.w!=b.w) return a.w<b.w;
        else return a.f<b.f;
    }
}s[N];
void get_son()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int x=i;
        for(int j=0;j<8;j++)
        {
            if(x%pr[j]==0) x/=pr[j],s[i].f|=(1<<j);
            while(x%pr[j]==0) x/=pr[j];
        }s[i].w=x;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&p);
    get_son();
    sort(s+2,s+n+1);
    f1[0][0]=f2[0][0]=dp[0][0]=1;
    int m=(1<<8)-1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int s1=m;s1>=0;s1--)
            for(int s2=m;s2>=0;s2--){
                if(!((s1|s[i].f)&s2)) f1[s1|s[i].f][s2]=(f1[s1|s[i].f][s2]+f1[s1][s2])%p;
                if(!(s1&(s2|s[i].f))) f2[s1][s2|s[i].f]=(f2[s1][s2|s[i].f]+f2[s1][s2])%p;}
        if(s[i].w==1||s[i+1].w!=s[i].w)
            for(int s1=m;s1>=0;s1--)
                for(int s2=m;s2>=0;s2--)
                    f1[s1][s2]=f2[s1][s2]=dp[s1][s2]=(f1[s1][s2]+f2[s1][s2]-dp[s1][s2]+p)%p;
    }
    ll ans=0;
    for(int s1=m;s1>=0;s1--)
        for(int s2=m;s2>=0;s2--)
            ans+=dp[s1][s2],ans%=p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

NOI 2015 寿司晚宴 (状压DP+分组背包)

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