[bzoj 4197][Noi 2015]寿司晚宴

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Description

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上,主办方为大家提供了 n−1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n−1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。

现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。

现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

Solution

题意：从2~n中选出两个不相交的可空集合A和B，满足集合A的数均与集合B的数互质，询问方案数。

首先，要满足题设的条件，必须要A中的所有质因数均不与B中的相同

可以把用到的质因数压成一个状态来dp！

具体的，有
\[ dp[S_1|k][S_2][i] += dp[S_1][S_2][i-1] (k \& S_2==0,k为i的质因子集合) \]

\[ dp[S_1][S_2|k][i] += dp[S_1][S_2][i-1] (k \& S_1==0,k为i的质因子集合) \]

如果我们倒着推，就只要开两维了。

但是，对于\(n \leq 500\),质因子个数太多了，没办法表示出来

发现对于大于等于23的质因子，每个数最多只有一个

——可以只对前面\(2,3,5,7,11,13,17,19\)记录状态来dp

做法：

先将所有数按照它的最大质因数\(mx\)排序，对于\(mx\)小于\(20\)的，直接dp即可

\(mx\)相同的数一起处理，再开两个数组\(tmp1\)、\(tmp2\)，表示全放在集合A或是全放在集合B的方案数

每处理完一个\(mx\),更新\(dp\)数组:\(dp[S_1][S_2]=tmp1[S_1][S_2]+tmp2[S_1][S_2]-dp[S_1][S_2]\),因为一开始\(tmp1\)、\(tmp2\)都继承了\(dp\)数组，所以最后还要减去一个\(dp[S_1][S_2]\)

复杂度：\(O(2^{16}n)\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MN 505
int n,mod,ans;
struct Number
{
    int s,mx;
    bool operator <(const Number&o)const{return mx<o.mx;}
}a[MN];
const int prime[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
int dp[256][256],tmp[2][256][256];
void init()
{
    register int i,j,t;
    for(i=1;i<=n;++i)
    {
        t=i;
        for(j=0;j<8;++j)while(t%prime[j]==0) a[i].s|=(1<<j),t/=prime[j];
        a[i].mx=t;
    }
    std::sort(a+2,a+n+1);
}

inline void DP()
{
    register int o,i,j,k;
    dp[0][0]=1;
    for(o=2;o<=n&&a[o].mx==1;++o)
    for(j=255;~j;--j)for(k=255;~k;--k)
    {
        if(!(k&a[o].s)) (dp[j|a[o].s][k]+=dp[j][k])%=mod;
        if(!(j&a[o].s)) (dp[j][k|a[o].s]+=dp[j][k])%=mod;
    }
//  printf("%d %d\n",o,a[o].mx);
    for(;o<=n;o=i)
    {
        memcpy(tmp[0],dp,sizeof dp);
        memcpy(tmp[1],dp,sizeof dp);
        for(i=o;i<=n&&a[i].mx==a[o].mx;++i)
        for(j=255;~j;--j)for(k=255;~k;--k)
        {
            if(!(k&a[i].s)) (tmp[0][j|a[i].s][k]+=tmp[0][j][k])%=mod;
            if(!(j&a[i].s)) (tmp[1][j][k|a[i].s]+=tmp[1][j][k])%=mod;
        }
        for(j=0;j<=255;++j)for(k=0;k<=255;++k)
            dp[j][k]=((tmp[0][j][k]+tmp[1][j][k]-dp[j][k])%mod+mod)%mod;
    }
}
int main()
{
    n=read();mod=read();
    register int i,j;
    init();DP();
    for(i=0;i<256;++i)for(j=0;j<256;++j)
        if(!(i&j)) (ans+=dp[i][j])%=mod;
    return 0*printf("%d\n",ans);
}

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