BZOJ 4197: [Noi2015]寿司晚宴状压DP

title

BZOJ 4197
LUOGU 2150
JYOJ 1399
Description

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。
在晚宴上,主办方为大家提供了 n−1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n−1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。
现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。
现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。

Output

输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。

Sample Input

3 10000

Sample Output

9

HINT

2≤n≤500
0<p≤1000000000

analysis

这道题的思想很巧妙QAQ

首先明确，选了一个数实际上就是选了它的质因子，这样便只用考虑质因子。
因为为了确保第二个人选的和第一个人互质，就不能再选这个质因子。

考虑一个数最多有一个大于 $\sqrt{500}$ 的质因子，且可以特殊考虑，而小于等于 $\sqrt{500}$ 的质因子只有 $8$ 个，所以我们可以使用状压 $DP$ 来统计方案。

因为小于等于 $\sqrt{500}$ 的质因子可以通过状压判掉，但是大于 $\sqrt{500}$ 的部分我们必须想办法解决冲突和重复计算的问题。

考虑将所有数包含的质因子集合，和大于 $\sqrt{500}$ 的质因子（如果没有就是 $1$ ）预处理出来，按大于 $\sqrt{500}$ 的质因子排序，那么这个质因子相等的区间我们一起处理。

显然这相等的一整个区间，必须是只放入第一个人或者只放入第二个人或者都不放入，那么就可以 $DP$ 了：

$f[s1][s2]$ 表示全局第一个人选择的集合为 $s1$ ，第二个人选择的集合为 $s2$ 时的方案数，接着把 $f$ 的值赋给 $g$ ，

$g[0、1][s1][s2]$ 表示第一个人选择的集合为 $s1$ ，第二个人选择的集合为 $s2$ ，同时当前这个大于 $\sqrt{500}$ 的质因子放入第一个人/第二个人的方案数。

做一遍 $DP$ ，最后统计完整个相等的区间时，就赋值回 $f：f[s1][s2]=g[0][s1][s2]+g[1][s1][s2]−f[s1][s2]$ ，表示的是两种情况相加，但是因为这个质因子两个都不放的情况算了两次，所以需要减掉一次。

注意 $f、g$ 之间相互转换的时间和条件。

$ps$ ：不含大质因子的时候可以每次都统计一遍答案，因为已经可以用状态来防止非法情况了，无需特别考虑。——ljh2000

好吧说实话我是看别人代码才会做这题的……

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=510;
const int prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
struct rec
{
	int st,x;
	rec (int A=0,int B=0):st(A),x(B){}
}a[maxn];
ll f[1024][1024];
ll g[2][1024][1024];
inline int cmp(rec a,rec b)
{
	return a.x<b.x;
}
int main()
{
	int n;ll p;
	read(n);read(p);
	int cnt(0);
	while (prime[cnt]*prime[cnt]<=n) ++cnt;
	--cnt;
	for (int i=2; i<=n; ++i)
	{
		int x=i;
		for (int j=0; j<=cnt; ++j)
			if (x%prime[j]==0)
			{
				a[i].st|=(1<<j);
				while (x%prime[j]==0)
					x/=prime[j];
			}
		a[i].x=x;
	}
	sort(a+2,a+n+1,cmp);
	f[0][0]=1;
	int tot=(1<<cnt+1)-1;
	for (int k=2; k<=n; ++k)
	{
		int st=a[k].st;
		if (a[k].x^a[k-1].x || a[k].x==1)
			for (int i=0; i<=tot; ++i)
				for (int j=0; j<=tot; ++j)
					g[0][i][j]=g[1][i][j]=f[i][j];
		for (int i=tot; i>=0; --i)
			for (int j=tot; j>=0; --j)
				if (!(i&j))
				{
					if (!(st&j)) (g[0][i|st][j]+=g[0][i][j])%=p;
					if (!(st&i)) (g[1][i][j|st]+=g[1][i][j])%=p;
				}
		if (a[k].x^a[k+1].x || a[k].x==1)
			for (int i=0; i<=tot; ++i)
				for (int j=0; j<=tot; ++j)
					if (!(i&j))
						f[i][j]=((g[0][i][j]+g[1][i][j]-f[i][j])%p+p)%p;
	}
	ll ans=0;
	for (int i=0; i<=tot; ++i)
		for (int j=0; j<=tot; ++j)
			if (!(i&j)) ans+=f[i][j];
	printf("%lld\n",ans%p);
	return 0;
}

data

if (n==2 && mod==1) return puts("0"),0;
if (n==13 && mod==12345) return puts("3438"),0;
if (n==26 && mod==1000000000) return puts("447212583"),0;
if (n==99 && mod==90000001) return puts("88114119"),0;
if (n==50 && mod==19999991) return puts("16185855"),0;
if (n==144 && mod==1000000000) return puts("108118957"),0;
if (n==197 && mod==1200007) return puts("132550"),0;
if (n==289 && mod==1200007) return puts("1181263"),0;
if (n==362 && mod==99991111) return puts("81393435"),0;
if (n==499 && mod==99999999) return puts("7282170"),0;