二分搜索

使用二分搜索时，常常会被确定边界恶心到。

查阅了一定资料，文中说常用的两种边界的写法有：

下位中位数： lowerMedian = (length - 2) / 2
上位中位数: upperMedian = length /2

对于两种写法，由于大部分语言都是向下取整，因此通用写法：

注意！最好不要使用median = (length - 2) / 2来写如果length==1时会发生溢出！！！！

使用语言带的自动向下取整数是安全的！

median = (length - 1) / 2

指针的区间可以是开区间也可以是闭区间，也可以半开半闭。

使用上述的中位数转化位两头闭区间就会：

median = low + (high - low) / 2

注意：

这里不能使用加法，容易溢出：

median = ( low + high )/2 //overstack

此外有有个关键的地方是终结条件：

最好不要以 low == high 作为终结条件。会被跳过。

if (low ==high)
{
    return (num[low] >= target)? low :++low;
}

在找的元素不存在的情况下会被跳过而无法退出

正确的终结条件是：

low > high

此时搜索会结束

结束条件 应该返回低位low!!!!

知乎的说法如下：（用本人的理解）

对于搜索过程中, high 位置的作用是减少搜索空间而 low 的作用是从0开始一直向着目标数字前进

搜索到的时候返回它，是一个一直逼近的过程。

对此对于高位的操作就可以放心惹

对于变种的题，只需找到目标位置与left位置关系即可。

代码如下：

int binarySearch(vector<int> &nums, int target)
    {
        int start = 0;
        //利用向下取整的特性
        int end = nums.size() - 1;

        //注意终止条件是start<end 不能是两者相等
        while (start < end)
        {
            //小小的陷阱
            //如果使用的是(start+end)/2则有溢出风险
            int mid = (end- start) / 2 + start;

            if (nums[mid] < target)
            {
                start = mid + 1;
            }
            else if (nums[mid] > target)
            {
                start = mid - 1;
            }
            //搜索到的情况
            else if (nums[mid] == target)
            {
                return mid;
            }
        }
        //未搜索到
        //因为左边的start一直是逼近于接近值
        //因此返回start是安全的
        return start;
    }

推广：

上述使用于无重复元素的情况，对于有重复情况：

有以下的推广：

搜寻有序序列的某元素第一次出现的位置

也可以理解为虚招第一个大于等于目标元素的位置

作出以下修改

对应leetcode题目：

leetcode 35. search insert position

public:
    int searchInsert(vector<int> &nums, int target)
    {
        int start = 0;
        int end = nums.size() - 1;
        while (start <= end)
        {
            int mid = (end - start) / 2 + start;
            if (nums[mid] >= target)
            {
                end = mid - 1;
            }
            else
            {
                start = mid + 1;
            }
        }
        return start;
    }

对比两者差别：

相等的情况：不能直接返回mid位置，而是一直做循环使得左边的游标left一直逼近target直到退出

不相等的情况，与一般的二分搜索相同，但是需要注意的是判断条件从start<end变成start<=end
因为在搜索要求是找到第一个元素的位置
对于target在目标数组中存在的情况最终会以end==start的情况退出
而没有搜索到的情况则是 start>end的情况结束的在这种情况下返回的是target该插入的位置，（因为采用的是
向下取整的mid，因此在插入过程中是完全ok的）

最后：二分搜索边界问题真恶心，最好多花时间搞懂，多写形成肌肉记忆！

参考自https://www.zhihu.com/question/36132386 知乎网

二分查找边界问题小结

二分搜索

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