[bzoj2669][DP][DFS][容斥原理]局部极小值

Description

有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。
给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

Input

输入第一行包含两个整数n和m（1<=n<=4,
1<=m<=7），即行数和列数。以下n行每行m个字符，其中“X”表示局部极小值，“.”表示非局部极小值。

Output

输出仅一行，为可能的矩阵总数除以12345678的余数。

Sample Input

3 2

X.

…

.X

Sample Output

60

题解

有点奇妙…
首先数据范围极小~~考虑做一些非法的事情~~
发现极限数据下最多的合法点只会有八个~~更加启导我们做非法的事情~~
从小到大枚举填的数
状压 $f[i][j]$ 表示当前填到了第 $i$ 个数，当前极小值位置是否被填了的状态
分是否填X位置讨论
如果填X位置显然可以直接填入因为是从小到大枚举的且保证了X位置旁边不会有数
转移 $f[i][j|(1<<K)]+=f[i-1][j]$
如果不填X位置，预处理一个 $num[j]$ 表示在 $j$ 状态下除去不能填数的格子其它的格子有多少个
显然已经填了的X格子都可以对 $num[j]$ 做出贡献
枚举每一个格子，如果他的八连通中没有X格子或者没有没有被填的X格子这个格子也能对num[j]做出贡献
转移 $f[i][j]+=f[i-1][j]*(num[j]-(i-1))$
因为这些格子里面有(i-1)个已经被填过了
然而这样只能过样例
这样填的话可能会出现一些情况，这些情况里不满足X格子只有给出的那么多
容斥一下
DFS搜出所有情况搞搞

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int dx[8]={0,-1,-1,-1,0,1,1,1};
const int dy[8]={-1,-1,0,1,1,1,0,-1};
const int mod=12345678;
int num[(1<<10)],f[30][(1<<10)],n,m;
int vis[10][10],gg[10][10],bin[25],rem,ans;
int id[10][10];
bool check(int u,int v,int tt)
{
	if(vis[u][v]&&(tt&bin[id[u][v]]))return true;
	else if(vis[u][v])return false;
	for(int i=0;i<8;i++)
	{
		int pp=u+dx[i],qq=v+dy[i];
		if(pp<1||pp>n||qq<1||qq>m)continue;
		if(vis[pp][qq]&&(!(tt&bin[id[pp][qq]])))return false;
	}
	return true;
}
void init()
{
	memset(id,0,sizeof(id));
	rem=0;memset(num,0,sizeof(num));memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)if(vis[i][j])id[i][j]=++rem;
	for(int i=0;i<bin[rem+1];i++)
	{
		int sum=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=m;k++)if(check(j,k,i))sum++;
		num[i]=sum;
	}
}
void dl(int &x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>mod)x-=mod;}
void sol(int op)
{
	init();f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n*m;i++)
		for(int j=0;j<=bin[rem+1]-1;j++)
		{
			int ct=0;
			for(int k=1;k<=rem;k++)if(j&bin[k])ct++;
			if(ct>=i)continue;
			for(int k=1;k<=rem;k++)//填x位置 
				if(!(j&bin[k]))//这个位置可以填
					f[i][j^bin[k]]=(f[i][j^bin[k]]+f[i-1][j])%mod;
			f[i][j]=(f[i][j]+(LL)f[i-1][j]*max((num[j]-i+1),0)%(LL)mod)%mod;
		}
	if(op%2)dl(ans,f[n*m][bin[rem+1]-1]);
	else ad(ans,f[n*m][bin[rem+1]-1]);
}
bool can_go(int u,int v)
{
	for(int i=0;i<8;i++)
	{
		int pp=u+dx[i],qq=v+dy[i];
		if(pp<1||pp>n||qq<1||qq>m)continue;
		if(vis[pp][qq])return false;
	}
	return true;
}
void dfs(int x,int y,int tim)
{
	if(x==n+1)
	{
		sol(tim);
		return ;
	}
	if(vis[x][y])dfs(x,y+1,tim);
	else if(y==m+1)dfs(x+1,1,tim);
	else
	{
		if(can_go(x,y))
		{
			vis[x][y]=1;
			dfs(x,y+1,tim+1);
			vis[x][y]=0;
		}
		dfs(x,y+1,tim);
	}
}
char ch[10];
int main()
{
//	freopen("a.in","r",stdin);
	bin[1]=1;for(int i=2;i<=20;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",ch+1);
		for(int j=1;j<=m;j++)if(ch[j]=='X')vis[i][j]=1;
	}
	dfs(1,1,0);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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