题解：【BZOJ2669】局部极小值（容斥原理+状压dp）

题意：有一个$n$行$m$列的整数矩阵，其中$1$到$nm$之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。$（1<=n<=4, 1<=m<=7）$

首先，我们会发现最多只有$8$个局部极小值（这个不难想，不会的自己想一想），于是我们可以暴力$dfs$出所有的局部极小值的情况（保证原本规定的位置必为局部极小值），然后得到一些局部极小值的位置，它们的集合为$S$。
然后考虑从$1$到$i$一个一个数填进去。同时用状压处理。我们用$dp_{i,j}$表示当前状态为$j$，已经填入$1$到$i$时的方案数。
于是状态转移方程：$dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+g_j-i+1+\sum_{k\in j}dp_{i-1,j-\{k\}}$
其中$g_j$表示状态$j$除这些局部极小值及其八相邻的方格之外还有多少个方格，这个我们可以预处理出来。
求出这些之后，对于集合S，$dp_{nm,|s|}$就是保证了原给定的局部极小值必定成立，但不能保证其它位置不是局部极小值的一种情况的答案。求出所有的这些之后，容斥一下就可以了。
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int px[]={0,0,1,-1,1,-1,1,-1},py[]={1,-1,1,-1,-1,1,0,0},mod=12345678;
int n,m,ans,tot,mp[6][10],vis[6][10],dp[30][(1<<8)+10],x[10],y[10],g[(1<<8)+10];
char s[10];
int DP(){
    tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(mp[i][j]){
                x[tot]=i;
                y[tot++]=j;
            }
    for(int i=0;i<(1<<tot);i++){
        g[i]=n*m;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int j=0;j<tot;j++)
            if(!(i&(1<<j))){
                for(int k=0;k<8;k++){
                    int tx=x[j]+px[k],ty=y[j]+py[k];
                    if(tx<=n&&ty<=m&&tx>0&&ty>0&&!vis[tx][ty]){
                        vis[tx][ty]=1;
                        g[i]--;
                    }
                }
                g[i]--;
                vis[x[j]][y[j]]=1;
            }
    }
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++){
        for(int j=0;j<(1<<tot);j++){
            dp[i][j]=1ll*dp[i-1][j]*max(g[j]-i+1,0)%mod;
            for(int k=0;k<tot;k++){
                if(j&(1<<k)){
                    dp[i][j]+=dp[i-1][j^(1<<k)];
                    if(dp[i][j]>=mod)
                        dp[i][j]-=mod;
                }
            }
        }
    }
    return dp[n*m][(1<<tot)-1];
}
void dfs(int x,int y,int k){
    if(x==n+1){
        ans+=k*DP();
        if(ans>=mod)
            ans-=mod;
        if(ans<0)
            ans+=mod;
        return;
    }
    if(y==m+1){
        dfs(x+1,1,k);
        return;
    }
    dfs(x,y+1,k);
    if(mp[x][y])
        return;
    for(int i=0;i<8;i++)
        if(mp[x+px[i]][y+py[i]])
            return;
    mp[x][y]=1;
    dfs(x,y+1,-k);
    mp[x][y]=0;
    return;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
            mp[i][j]=(s[j]=='X');
    }
    dfs(1,1,1);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}