BZOJ 2669: [cqoi2012]局部极小值 状压DP+容斥定理

版权声明：https://blog.csdn.net/huashuimu2003 https://blog.csdn.net/huashuimu2003/article/details/89343362

title

BZOJ 2669
LUOGU 3160
LUOGU 1763双倍经验
JYOJ 1398
Description

有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。
给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

Input

输入第一行包含两个整数n和m（1<=n<=4, 1<=m<=7），即行数和列数。以下n行每行m个字符，其中“X”表示局部极小值，“.”表示非局部极小值。

Output

输出仅一行，为可能的矩阵总数除以12345678的余数。

Sample Input

3 2
X.
…
.X

Sample Output

60

analysis

诈一看不可做…
回归问题本质。
假设啥要求都没有，我们知道答案就是 $(n∗m)!$，这是因为一开始的数有 $n∗m$种选择，然后之后的方案数依次递减 $1$。

换言之，假设我们一个个放数，我们只要知道了每一次放数的可能的方案数，那么我们就能求出总方案了。

发现一个性质：
由于局部极小值的要求是周围的数都比它大，所以假设我们从小往大放数(倒着也类似)，那么如果局部极小值处还没有填上数 , 那么它周围的一切格子都不能填上数 , 也就是说我们一次次放数的时候 , 假设我们知道了局部极小值处的填数状况 , 那么我们很容易就能算出这一步的填数方案数。

考虑到 $4∗7$的大小最多只会有 $8$个可能的局部极小值 , 一个显然的状压 $dp$就出来了。

我们设 $f[i][j]$表示填到了数 $i$, 局部极小值处填数状态为 $j$的方案数，
答案就是 $f[n∗m][11...11]$。

对于每一个状态，我们先把它还能填数的不是局部极小值的位置数算出来(下面记为 $ret[j]$)，之后就可以转移了。
转移分两种情况：

• 不放在局部极小值处，
  这时状态 $j$不变，假设有 $k$个蓄水池已经填了数，方案数为 $ret[j]−(i−1)+k$，
  这表示的就是有多少个没有放数的并且可以放数的非局部极小值格子。
• 放在局部极小值处，
  那就枚举放在哪一个上，改变状态直接加上方案数，
  然而这样会算出不合法的方案 , 因为题目要求不能有其他非局部极小值的地方成为局部极小值，
  也就是说我们的最后的方案中有的方案局部极小值多了。

那么就容斥一下 , 暴搜哪些地方多出来了 , 套上公式算就行了。
——NeosKnight

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int dx[9]={0,1,-1,-1,1,0,0,-1,1};
const int dy[9]={0,1,-1,1,-1,-1,1,0,0};
const int mod=12345678,maxn=30;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
struct matrix
{
	int x,y;
}a[maxn];
int ans,tot,n,m;
int f[maxn][1<<8],num[1<<8];
bool vis[maxn][maxn];
char ch[maxn][maxn];
inline int solve()
{
	tot=0;
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		for (int j=1; j<=m; ++j)
			if (ch[i][j]=='X')
				a[++tot].x=i,a[tot].y=j;
	for (int i=0; i<(1<<tot); ++i)
	{
		int cnt=0;
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		for (int j=1; j<=tot; ++j)
			if (!((i>>j-1)&1))
			{
				vis[a[j].x][a[j].y]=1;
				for (int k=1; k<=8; ++k)
				{
					int xx=a[j].x+dx[k],yy=a[j].y+dy[k];
					if (xx>0 && xx<=n && yy>0 && yy<=m)
						vis[xx][yy]=1;
				}
			}
		for (int j=1; j<=n; ++j)
			for (int k=1; k<=m; ++k)
				if (vis[j][k]) ++cnt;
		num[i]=n*m-cnt;
	}
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0][0]=1;
	for (int i=1; i<=n*m; ++i)
		for (int j=0; j<(1<<tot); ++j)
		{
			f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j]*max(num[j]-i+1,0))%mod;
			for (int k=1; k<=tot; ++k)
				if (j&(1<<k-1))
					f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j^(1<<k-1)])%mod;
		}
	return f[n*m][(1<<tot)-1];
}
inline void dfs(int x,int y,int z)
{
	if (y==m+1)
	{
		dfs(x+1,1,z);
		return ;
	}
	if (x==n+1)
	{
		if (z&1) ans-=solve()%mod;
		else ans=(ans+solve())%mod;
		ans=(ans%mod+mod)%mod;
		return ;
	}
	dfs(x,y+1,z);
	bool flag=1;
	for (int i=1; i<=8; ++i)
		if (ch[x+dx[i]][y+dy[i]]=='X')
		{
			flag=0;
			break;
		}
	if (flag && ch[x][y]^'X')
	{
		ch[x][y]='X';
		dfs(x,y+1,z+1);
		ch[x][y]='.';
	}
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	{
		scanf("%s",ch[i]+1);
		for (int j=1; j<=m; ++j)
			if (ch[i][j]=='X')
				a[++tot].x=i,a[tot].y=j;
	}
	dfs(1,1,0);
	printf("%d\n",(ans%mod+mod)%mod);
	return 0;
}

前两个为上面code，第三个为下面code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int dx[9]={0,1,-1,-1,1,0,0,-1,1};
const int dy[9]={0,1,-1,1,-1,-1,1,0,0};
const int mod=12345678,maxn=30;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
struct matrix
{
	int x,y;
}a[maxn];
inline void update(int &x,int y)
{
	x+=y;
	if (x>=mod) x-=mod;
}
int ans=0,num=0,tot=0,n,m,ret[1<<10];
int id[10][10],f[maxn][1<<10];
bool vis[10][10],c[10][10];
inline int cal(int u)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for (int i=1; i<=num; ++i)
	{
		int x=a[i].x,y=a[i].y;
		if (u&1) vis[x][y]=1;
		else
		{
			for (int j=1; j<=8; ++j)
				vis[x+dx[j]][y+dy[j]]=1;
		}
		u>>=1;
	}
	int cnt(0);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		for (int j=1; j<=m; ++j)
			if (!vis[i][j] && !id[i][j])
				++cnt;
	return cnt;
}
inline int query(int x)
{
	int ans=0;
	while (x)
	{
		++ans;
		x-=x & -x;
	}
	return ans;
}
inline void solve(int flag)
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	for (int i=0; i<(1<<num); ++i)
		ret[i]=cal(i);
	f[0][0]=1;
	for (int i=1; i<=tot; ++i)
		for (int j=0; j<(1<<num); ++j)
		{
			int cnt=query(j);
			update(f[i][j],1ll*f[i-1][j]*(ret[j]-i+1+cnt)%mod);
			for (int k=1,z=1; k<=num; ++k,z<<=1)
			{
				if (z&j) continue;
				update(f[i][j|z],f[i-1][j]);
			}
		}
	if (flag) f[tot][(1<<num)-1]=mod-f[tot][(1<<num)-1];
	update(ans,f[tot][(1<<num)-1]);
}
inline void dfs(int x,int y,int tot)
{
	if (y>m) ++x,y=1;
	if (x>n) return solve(tot&1);
	if (id[x][y]) return dfs(x,y+1,tot);
	bool flag=1;
	dfs(x,y+1,tot);
	for (int i=1; i<=8; ++i)
		if (id[x+dx[i]][y+dy[i]])
		{
			flag=0;
			break;
		}
	if (flag)
	{
		id[x][y]=++num;
		a[num]=(matrix){x,y};
		dfs(x,y+1,tot+1);
		id[x][y]=0;
		--num;
	}
}
int main()
{
	read(n);read(m);tot=n*m;
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		for (int j=1; j<=m; ++j)
		{
			char ch=getchar();
			while (ch^'.' && ch^'X') ch=getchar();
			if (ch=='X')
			{
				c[i][j]=1,a[++num]=(matrix){i,j};
				id[i][j]=num;
				if (c[i-1][j] || c[i-1][j-1] || c[i][j-1])
					return puts("0"),0;
			}
		}
	if (!num) return puts("0"),0;
	dfs(1,1,0);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}