【网络流24题】太空飞行计划（最大权闭合子图）

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/82634824

题意

W 教授正在为国家航天中心计划一系列的太空飞行。每次太空飞行可进行一系列商业性实验而获取利润。现已确定了一个可供选择的实验集合 $E={E1,E2,⋯,Em} E = \{ E_1, E_2, \cdots, E_m \} E={E​1​​,E​2​​,⋯,E​m​​}$，和进行这些实验需要使用的全部仪器的集合 $I={I1,I2,⋯,In} I = \{ I_1, I_2, \cdots, I_n \} I={I​1​​,I​2​​,⋯,I​n​​}$。实验 $Ej E_j E​j​​$需要用到的仪器是 $I$ 的子集 $Rj⊆I R_j \subseteq I R​j​​⊆I$。

配置仪器 $I_k$​​ 的费用为 $c_k$​​ 美元。实验 $E_j$​​ 的赞助商已同意为该实验结果支付 $p_j$​​ 美元。W 教授的任务是找出一个有效算法，确定在一次太空飞行中要进行哪些实验并因此而配置哪些仪器才能使太空飞行的净收益最大。这里净收益是指进行实验所获得的全部收入与配置仪器的全部费用的差额。

对于给定的实验和仪器配置情况，编程找出净收益最大的试验计划。

题解

最大权闭合子图。
此类模型的直观理解，每个点有点权，或正或负。如果在选择一个点后，要连续选择其后继的点。一般情况求最大收益。

难点是建图方法：
对于点权为正的点，源点向正权点连边，容量为点权值。对于点权为负的点，负权点向汇点连边，容量为负权点绝对值。对于要后继关系的点，前驱向后继点连边，边权为正无穷。跑最大流，求出最小割。最后答案为正权点之和-最小割。

若要输出一组可行解，直接看跑最大流的分层图的vis数组即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int nmax = 1e6+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ull p = 67;
const ull MOD = 1610612741;
int n, m;
vector<int> v[nmax];
vector<int> ans;
string str;
struct Dinic {
    int head[nmax], cur[nmax], d[nmax];
    bool vis[nmax];
    int tot, n, m, s, t, front, tail;
    int qqq[nmax];
    struct edge {
        int nxt, to, w, cap, flow;
    } e[nmax<<1];
    void init(int n) {
        this->n = n;
        memset(head, -1, sizeof head);
        memset(e,0,sizeof e);
        this->tot = 0;
    }
    int add_edge(int u, int v, int c) {
        int temp = tot;
        e[tot].to = v, e[tot].cap = c, e[tot].flow = 0;
        e[tot].nxt = head[u];
        head[u] = tot++;
        e[tot].to = u, e[tot].cap = c, e[tot].flow = c;
        e[tot].nxt = head[v];
        head[v] = tot++;
        return temp;
    }
    bool BFS() {
//        memset(vis, 0, sizeof(vis));
//        queue<int>Q;
        for(int i = 0; i <= n; ++i) vis[i] = false;
        front = tail = 0;
        vis[s] = 1; d[s] = 0;
//        Q.push(s);
        qqq[tail++] = s;
        while (front < tail) {
//            int u = Q.front(); Q.pop();
            int u = qqq[front++];
            for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].nxt) {
                int v = e[i].to;
                if (!vis[v] && e[i].cap > e[i].flow) {
                    vis[v] = 1;
                    d[v] = d[u] + 1;
//                    Q.push(v);
                    qqq[tail++] = v;
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }
    int DFS(int x, int a) {
        if (x == t || a == 0) return a;
        int Flow = 0, f;
        for (int& i = cur[x]; i != -1; i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].to;
            if (d[v] == d[x] + 1 && (f = DFS(v, min(a, e[i].cap - e[i].flow))) > 0) {
                Flow += f;
                e[i].flow += f;
                e[i ^ 1].flow -= f;
                a -= f;
                if (a == 0) break;
            }
        }
        return Flow;
    }
    int Maxflow(int s, int t) {
        this->s = s, this->t = t;
        int Flow = 0;
        while (BFS()) {
            for (int i = 0; i <= n; i++) cur[i] = head[i];
            Flow += DFS(s,INF);
        }
        return Flow;
    }
} dinic;
int main(){
    cin >> n >> m;
    getchar();
    int s = 0, t = n + m + 1;
    int sum = 0;
    int val = 0;
    dinic.init(t);
    char test;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> val;
        v[i].push_back(val);
        while(test = getchar()) {
            if(test == '\r' || test == '\n') break;
            else {
                cin >> val;
                v[i].push_back(val);
            }
        }
        sum += v[i][0];
        dinic.add_edge(s, i, v[i][0]);
        for(int j = 1; j < v[i].size(); ++j) {
            dinic.add_edge(i, v[i][j] + n, INF);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> val;
        dinic.add_edge(i + n, t, val);
    }
    int mxflow = dinic.Maxflow(s, t);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        if(dinic.vis[i]) ans.push_back(i);
    }
    for(int i = 0; i < ans.size(); ++i) {
        if(!i) printf("%d", ans[i]);
        else printf(" %d", ans[i]);
    }
    printf("\n");
    ans.clear();
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        if(dinic.vis[i + n]) ans.push_back(i);
    }
    for(int i = 0; i < ans.size(); ++i) {
        if(!i) printf("%d", ans[i]);
        else printf(" %d", ans[i]);
    }
    printf("\n");
    printf("%d\n", sum - mxflow);
    return 0;
}