【网络流24题】太空飞行计划

题目

链接：LOJ P6001
洛谷P2762

解法

考虑网络流建模。设置点$1$ ~ $N$表示每种仪器，点$N+1$ ~ $N+M$表示每个项目，超源$S$，超汇$T$。从$S$向所有项目各连一条边$(S,j,capacity=p_j)$，从所有仪器各向$T$连一条边$(k,T,capacity=c_k)$，从每个实验向其所需的仪器连边$(j,k,capacity=+\infty)$，答案即为所有实验的总收益减去最大流。

于是，正确性？

首先考虑所有被选择的点，假设这些点所代表的每个项目净收益都为正，项目$j$所需的仪器集合为$\mathbb K$，那么由于每个项目的净收益为正，有$\forall j,p_j\geqslant\sum x\in\mathbb K$，故该项目在模型中对最大流的贡献为$\sum x\in \mathbb K$。

对于未被选择的项目，它们的净收益一定为负，那么其对最大流的贡献为$p_j$。

综上，在总净收益最大的情况下若一个项目被选择，其对最大流的贡献等于其净收益；若其未被选择，其对最大流的贡献等于其收益$(p_j)$。因此答案为所有实验的总收益减去最大流。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<queue>

using namespace std;

struct edge{
    int v,c;
    edge():v(0),c(0){}
    edge(int y,int d):v(y),c(d){}
};

const int INF=1000000000;
vector<int> point[103];
vector<edge> vec;
char ch;
int N,M,K[51],W[51],S,T,x,ans;
int d[103],p[103];

inline void addedge(int x,int y,int c,int i=0){
    point[x].push_back(vec.size());
    vec.push_back(edge(y,c));
    point[y].push_back(vec.size());
    vec.push_back(edge(x,0));
}

bool bfs(){
    queue<int> q;
    q.push(S);
    memset(d,0,sizeof(d));
    d[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i:point[u]){
            edge e=vec[i];
            int v=e.v,c=e.c;
            if(!d[v]&&c){
                q.push(v);
                d[v]=d[u]+1;
            }
        }
    }
    return d[T];
}

int dfs(int u,int f){
    if(u==T)return f;
    for(int &i=p[u];i<point[u].size();++i){
        edge e=vec[point[u][i]];
        int v=e.v,c=e.c,fl;
        if(d[v]==d[u]+1&&c&&(fl=dfs(v,min(f,c)))){
            vec[point[u][i]].c-=fl;
            vec[point[u][i]^1].c+=fl;
            return fl;
        }
    }
    return 0;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&M,&N);
    T=(S=N+M+1)+1;
    for(int i=1;i<=M;++i){
        scanf("%d",K+i);
        ans+=K[i];
        addedge(S,i+N,K[i]);
        ch=0;
        while(ch!='\r'&&ch!='\n'){
            scanf("%d",&x);
            addedge(i+N,x,INF);
            ch=getchar();
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;++i){
        scanf("%d",W+i);
        addedge(i,T,W[i]);
    }
    while(bfs()){
        int d;
        memset(p,0,sizeof(p));
        while(d=dfs(S,INF))ans-=d;
    }
    for(int i=1;i<=M;++i)if(d[i+N])printf("%d ",i);
    puts("");
    for(int i=1;i<=N;++i)if(d[i])printf("%d ",i);
    puts("");
    printf("%d",ans);
}