无线定位原理：TOA&AOA

TOA 定位方法

TOA 定位方法，主要是根据测量接收信号在基站和移动台之间的到达时间，然后转换为距离，从而进行定位。该方法至少需要三个基站，才能计算目标的位置，其定位示意图如图所示。

toa

三个基站测得与 MS 的距离分别为 $r_1,r_2,r_3$ ，以各自基站为圆心测量距离为半径，绘制三个圆，其交点即为 MS 的位置。当三个基站都是 LOS 基站时，一般可以根据最小二乘(LS)算法计算 MS 的估计位置。假设 MS 位的置坐标为 $(x,y)$ ， $N$ 个 BS 的位置坐标为 $(x_i,y_i)$ ，根据其几何意义，则它们之间满足的关系是

(x_{i} - x)^{2} + (y - y_{i})^{2} = r_{i}^{2}, i = 1, 2, \dots, N

$(x_i-x)^2+(y-y_i)^2=r_i^2,\quad i=1,2,\cdots,N$

将公式展开，化简得到

x_{i}^{2} + y_{i}^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 x_{i} x - 2 y_{i} y = r_{i}^{2} ⇓ K_{i} = x_{i}^{2} + y_{i}^{2}, R = x^{2} + y^{2} ⇓ r_{i}^{2} - K_{i} = - 2 x_{i} x - 2 y_{i} y + R ⇓ [\begin{matrix} r_{1}^{2} - K_{1} \\ r_{2}^{2} - K_{2} \\ ⋮ \\ r_{N}^{2} - K_{N} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 x_{1} & - 2 y_{1} & 1 \\ - 2 x_{2} & - 2 y_{2} & 1 \\ ⋮ \\ - 2 x_{N} & - 2 y_{N} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ R \end{matrix}] ⇓ Y = A X

$x_i^2+y_i^2+x^2+y^2-2x_ix-2y_iy=r_i^2 \\ \Downarrow \\ K_i = x_i^2+y_i^2,\quad R=x^2+y^2 \\ \Downarrow \\ r_i^2-K_i=-2x_ix-2y_iy+R \\ \Downarrow \\ \begin{bmatrix} r_1^2-K_1\\ r_2^2-K_2\\ \vdots \\ r_N^2-K_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2x_1&-2y_1&1\\ -2x_2&-2y_2&1\\ \vdots \\ -2x_N&-2y_N&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ R \end{bmatrix} \\ \Downarrow \\ Y=AX$

我们要求得坐标 $(x,y)$ ，即求得 $X$ 。利用最小二乘法可得

X = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} Y

$X = (A^TA)^{-1}A^TY$

AOA 定位方法

AOA 定位方法，主要是测量信号移动台和基站之间的到达角度，以基站为起点形成的射线必经过移动台，两条射线的交点即为移动台的位置。该方法只需两个基站就可以确定 MS 的估计位置，其定位示意图如图所示。

aoa

当 BS 装有天线阵列时，天线阵列根据移动台发送的信号来确定入射角度。两个基站的入射角分别为 $\alpha_1,\alpha_2$ ，以各基站为起点，入射角方向构造直线的交点，即为 MS 的位置。假设 MS 位的置坐标为 $(x,y)$ ， $N$ 个 BS 的位置坐标为 $(x_i,y_i)$ ，根据其几何意义，则它们之间满足

\tan α_{i} = \frac{y - y_{i}}{x - x_{i}}

$\color{red} { \tan \alpha_i = \frac{y-y_i}{x-x_i} }$
将上式展开可得

(x - x_{i}) \tan α_{i} = y - y_{i} ⇓ y_{i} - x_{i} \tan α_{i} = - x \tan α_{i} + y ⇓ [\begin{matrix} y_{1} - x_{1} \tan α_{1} \\ y_{2} - x_{2} \tan α_{2} \\ ⋮ \\ y_{N} - x_{N} \tan α_{N} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \tan α_{1} & 1 \\ - \tan α_{2} & 1 \\ ⋮ \\ - \tan α_{N} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] ⇓ Y = A X

$(x-x_i)\tan \alpha_i = y-y_i \\ \Downarrow \\ y_i-x_i\tan \alpha_i = -x\tan \alpha_i+y \\ \Downarrow \\ \begin{bmatrix} y_1-x_1\tan \alpha_1\\ y_2-x_2\tan \alpha_2\\ \vdots \\ y_N-x_N\tan \alpha_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\tan \alpha_1&1\\ -\tan \alpha_2&1\\ \vdots \\ -\tan \alpha_N&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \\ \Downarrow \\ Y=AX$

同样可以利用最小二乘法解的 $X$ 。

TOA/AOA 混合定位

当基站能同时获得 TOA 和 AOA 信息时，通常联合上述公式，采用 TOA/AOA 混合定位方法，令

\begin{aligned} Y & = [\begin{matrix} r_{1}^{2} - K_{1} \\ ⋮ \\ r_{N}^{2} - K_{N} \\ y_{1} - x_{1} \tan α_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} - x_{N} \tan α_{N} \end{matrix}] \\ A & = [\begin{matrix} - 2 x_{1} & - 2 y_{1} & 1 \\ ⋮ \\ - 2 x_{N} & - 2 y_{N} & 1 \\ - \tan α_{1} & 1 & 0 \\ ⋮ \\ - \tan α_{N} & 1 & 0 \end{matrix}] \\ X & = [\begin{matrix} x \\ y \\ R \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} Y &= \begin{bmatrix} r_1^2-K_1\\ \vdots \\ r_N^2-K_N \\ y_1-x_1\tan \alpha_1\\ \vdots \\ y_N-x_N\tan \alpha_N \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} -2x_1&-2y_1&1\\ \vdots \\ -2x_N&-2y_N&1\\ -\tan \alpha_1&1&0\\ \vdots \\ -\tan \alpha_N&1&0 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} x\\ y\\ R \end{bmatrix} \end{align*}$
同理利用 LS 算法求解，得到移动台的位置。