洛谷 P4819 [中山市选]杀人游戏强连通分量

题目描述
一位冷血的杀手潜入Na-wiat，并假装成平民。警察希望能在 $N$ 个人里面，查出谁是杀手。警察能够对每一个人进行查证，假如查证的对象是平民，他会告诉警察，他认识的人，谁是杀手，谁是平民。假如查证的对象是杀手，杀手将会把警察干掉。现在警察掌握了每一个人认识谁。每一个人都有可能是杀手，可看作他们是杀手的概率是相同的。

问：根据最优的情况，保证警察自身安全并知道谁是杀手的概率最大是多少？

输入输出格式

输入格式：
第一行有两个整数 $N,M$ 。接下来有 $M$ 行，每行两个整数 $x,y$ ，表示 $x$ 认识 $y$ （ $y$ 不一定认识 $x$ ,例如President同志）。

注：原文zz敏感内容已替换

输出格式：
仅包含一行一个实数，保留小数点后面 $6$ 位，表示最大概率。

输入输出样例

输入样例#1：
5 4
1 2
1 3
1 4
1 5
输出样例#1：
0.800000
说明

警察只需要查证 $1$ 。假如 $1$ 是杀手，警察就会被杀。假如 $1$ 不是杀手，他会告诉警察 $2,3,4,5$ 谁是杀手。而 $1$ 是杀手的概率是 $0.2$ ，所以能知道谁是杀手但没被杀的概率是 $0.8$ 。

对于 $100\%$ 的数据有 $1≤N≤100000,0≤M≤300000$

分析：
假如我们调查了一个人，有 $\frac{1}{n}$ 概率被杀，有 $\frac{k}{n}$ 概率调查到凶手, $k$ 表示与当前人认识的人数。剩下的就是知道这个人以及他认识的人都不是凶手的概率，而下次调查人数变少，概率变大，但是要乘上当前触发这个条件的概率，所以其实都是 $\frac{1}{n}$ 。

显然我们调查一次没有找到凶手，下次调查一定调查那些已经被知道不是凶手的人，也就是说，我们调查一个人，可以知道他间接认识的人的身份。

因为原图是有向图，我们可以先缩点，显然一个联通分量只需要调查一个人。那么答案是入度为 $0$ 的点的个数。
但是这有例外，比如说，如果全部人 $n$ 个不认识，我们只需要调查 $n-1$ 个人即可，并不是所有人，可以理解为有一个入度为 $0$ 的点的情况在调查了其他的点后，不需要调查就知道了。

也就是说，如果缩点后的图存在一个点，他的入度为 $0$ ，而且这个联通分量缩点前也是一个点而不是一个环，并且与他认识的点入度都大于 $1$ （也就是可以通过其他人调查，不调查这个点不影响），那么总调查数就可以减 $1$ ，但是只能允许不调查一个这样的点。答案就是 $1-\frac{num}{n}$ ， $num$ 为总调查数。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>

const int maxn=1e5+7;
const int maxe=3e5+7;

using namespace std;

int flag,n,m,num,x,y,cnt,bcnt;
int r[maxn],dfn[maxn],low[maxn],belong[maxn],d[maxn],ls[maxn],vis[maxn];

vector <int> sta;

struct edge{
    int x,y,next;
}g[maxe];

void dfs(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++cnt;
    vis[x]=1; sta.push_back(x);
    for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
    {
        int y=g[i].y;
        if (!dfn[y])
        {
            dfs(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        }
        else
        {
            if (vis[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
        }
    }
    if (low[x]==dfn[x])
    {
        bcnt++;
        int y=0;
        while (y!=x)
        {
            y=sta.back();
            sta.pop_back();
            belong[y]=bcnt;
            vis[y]=0;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g[i].x=x;
        g[i].y=y;
        g[i].next=ls[x];
        ls[x]=i;
        r[y]++;
    }   
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (!dfn[i]) dfs(i);
    }   
    num=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        x=g[i].x,y=g[i].y;
        if (belong[x]!=belong[y]) d[belong[y]]++;
    }
    for (int i=1;i<=bcnt;i++)
    {   
        if (!d[i]) num++;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if ((!d[belong[i]]) && (!r[i]))
        {
            int rec=0;
            for (int j=ls[i];j>0;j=g[j].next)
            {
                int y=g[j].y;
                if (r[y]<=1)
                {
                    rec=1;
                    break;
                }
            }
            if (!rec)
            {
                flag=1;
                break;
            }
        }
    }
    double ans=1-(double)(num-flag)/(double)n;
    printf("%.6lf",ans);
}

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