Decision Tree——ID3、C4.5、CART

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ID3

决策树关键问题：如何选择特征进行分支
ID3算法思想：选择信息增益最大的属性作为当前的特征对数据集进行分类。

信息熵(Information Entropy)：信息的不确定性程度，变量的不确定性越大，熵的值越大;随机变量不确定性的度量叫熵。一个变量X，它可能的取值有n多种，分别是x1，x2，……，xn，每一种取到的概率分别是P1，P2，……，Pn，那么X的熵就定义为
$Entropy(X)=H(X)=-\sum_{i=1}^{m}p_{i}log(p_{i})$
知乎：信息熵是什么？

信息增益(Information Gain)： 在一个条件下，信息不确定性减少的程度；信息增益=信息熵 - 条件熵

$Gain(D, A)=g(D,A)=H(D) - H(D|A)$
其中a是有V个不同取值的离散特征，使用特征a对样本集D进行划分会产生V个分支.

条件熵：已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性
$H(Y|X)= \sum_{x\in X} p(x)H(Y|X=x)$
通俗理解决策树算法中的信息增益

https://blog.csdn.net/u011327333/article/details/51167952

ID3算法构建决策树存在的问题：

1. 不能处理连续特征
2. 用信息增益作为标准容易偏向于取值较多的特征
3. 缺失值处理的问
4. 过拟合问题

C4.5

信息增益比(Information Gain Ratio)： 信息增益$g(D,A)$与训练集D关于特征A的值的熵$H_{A}(D)$之比:
$g_{R}(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_{A}(D)}$

C4.5生成算法与ID3的不同之处：使用信息增益比来选择特征

C4.5算法构建决策树存在的问题：

1. 由于决策树算法非常容易过拟合，因此对于生成的决策树必须要进行剪枝.->预剪枝，后剪枝
2. C4.5生成的是多叉树，即一个父节点可以有多个节点
3. C4.5只能用于分类
4. C4.5由于使用了熵模型，里面有大量的耗时的对数运算,如果是连续值还有大量的排序运算

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决策树剪枝

决策树学习的损失函数:
$C_{\alpha}(T) = \sum_{t=1}^{\vert T \vert}N_tH_t(T) + \alpha \vert T \vert$
使损失函数最小，可动态规划实现。

预剪枝：决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶节点。有欠拟合风险
后剪枝：先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶节点进行考察，若将该节点对应的子树替换为叶节点能提升决策树的泛化性能，则将该子树减去。训练时间开销大

CART

基尼指数：
$Gini(D)=1-\sum_{k=1}^{|y|}p_{k}^{2}$
属性a的基尼指数定义为：