平面方程与点到平面的距离

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平面方程与点到平面的距离

1. 平面的点法式方程

过空间的一点，与已知直线垂直的平面只有一个。因此，给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量，平面就确定了。
这就是所谓的点法式方程的基础。

(1)法向量：

任意垂直与一个平面的向量被称为法向量。
法向量有无数个。

(2)平面的点法式方程：

假设平面上的一个点$M_0(x_0, y_0, z_0)$,已知该平面的法向量为$n=(A, B, C)$, 那么对于平面上的任意一点$M(x, y ,z)$, 向量$M_0 = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$与法向量垂直，即$n \cdot MM_0 = 0$,

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

(3)例子

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2. 点与平面的关系

(1)点与平距离的计算

假设平面的方程为

$$Ax+By+Cz+D=0$$ 平面外的一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$, 在平面上取一点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$, 那么点 $P_0$到平面的距离d就是向量 $P_1P_0$ 在法向量$n$上投影的长度。

$$d=\frac{\left | n\cdot P_1P_0 \right |}{n}=\frac{\left | A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0) \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$$ $$=\frac{\left | Ax-Ax_0+By-By_0+Cz-Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}=\frac{\left | Ax+By+Cz-Ax_0-By_0-Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$$ $$=\frac{\left | Ax_0+By_0+Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$$
所以点 $(x_0,y_0,z_0)$到平面的距离为 $$d=\frac{\left | Ax_0+By_0+Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$$

(2) 例子

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同济版 高等数学

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