红黑树 - 2 - 代码天地

为什么这里还有一颗红黑树
如果读者仔细的看了我所有的博客，你可能会发现在之前已经存在一篇关于红黑树的博文。那么你可能会诧异这里为什么还有一颗红黑树，难道是为了凑篇数？当然不是这样。前面的红黑树其实是”简化版“的红黑树，而这里我们我即将提到的无非是具有正统血缘的红黑树。事实上，前面的2-3-4查找树，也无非是为这里打下基础。
红黑树的另一种定义
[ 1 ] 每个节点或为红色或为黑色。
[ 2 ] 根节点是黑色的。
[ 3 ] 如果一个节点是红色的，其子节点必然是黑色的。
[ 4 ] 整颗树是黑平衡的。
如果我们将这里的定义与前面那篇《红黑树》那里定义进行比较，我们会看见后面这种定义仿佛是在放大限制，而以前的限制无非是在现在定义上再加上一种限制。具体体现在，简易版的红黑树不予许存在红色的红链接，也就是红色的右节点，而全面版的红黑树允许存在红色右节点。
插入
我们依旧为新节点染成红色，因为如果染成黑色我们一定会违反规则中的第四条。我们将新节点染成红色，当插入位置的父节点已经是红节点时，我们可以通过重新染色，旋转来改变它。
我们先讨论一些这里与之前的不同处。
首先如果将红色节点收上去，这里将允许4-节点的出现，而前面的简易版本只允许存在3-节点。这里的许多策略与前面基本相同，而这里存在许多镜像的情况。
1.在 2- 节点插入新节点
当新节点插入2-节点时，我们直接插入，生成3-节点，而不用考虑简易版红黑树在新节点充当其父节点的右节点时，我们要进行一次左旋转。
2 .向一个3-节点插入新节点
注意在简易版中只可能存在红链接充当其父节点左链接的情况，而在标配版中还存在红链接充当其父节点右链接的情况，下面进行分情况讨论
- 当红节点在其父节点左边时
  【 1 】 . 新键大于树中两个键
  这里我们直接生成4-节点，而不是进行简易版本的重新染色。
  【 2 】 .新键小于树中两个键
  采用相同的旋转方法，重新染色，但染色方法不同，我们直接将旋转后的左右节点染成红色，父节点染成黑色。而不是染成左红右黑，父节点染成黑色。
  【 3 】 .新键在树中两个键之间
  旋转方法相同，同样经历两次旋转，但染色时同样将左右节点染成红色，父节点染成黑色。而不是染成左红右黑，父节点染成黑色。（）
- 当红节点在其父节点左边时
  【 1 】新键大于树中两个键
  与上文新键小于树中两个键情况，成镜面对称。
  【 2 】 .新键小于树中两个键
  与新键大于树中两个键情况，成镜面对称。
  【 3 】 .新键在树中两个键之间
  与前面新键在树中两个键之间，成镜面对称。
  3.向底部3-节点插入新节点
  与简易版策略类似，我们通过上面的策略，注意这里所说的相同策略，主要是旋转操作，而不是染色操作，事实上这里与单个3-节点染色问题不同原因在于，单个3-节点将父节点染成黑色不会影响树的平衡性，而这里如果将我们底部的3-节点中间节点染成黑色，我们将影响树的平衡性（局部树高增加1）。因此我们选择将3-节点中间节点染成红色，然后将红节点向上传达。
  4.向4-节点中插入新键
  我们采用在2-3-4查找树中的策略，但要注意染色时要保证局部树的平衡性。（不再赘述）
- 红黑树的一些性质
  【 1 】一颗红黑树有不少于 ${2^h}$ - 1 个内部黑色节点
  【 2 】一颗红黑树有不超过 ${4^h}$ - 1 个内部节点
  【 3 】任意黑色节点的普通高度至多是其黑色高度的 2 倍
  【 4 】假设T为一个n个·内部节点的红黑树，则红黑树的普通高度不超过 $2log( n + 1 )$ ,基于红黑树的查找代价为O( $log n$ ).

红黑树 - 2

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