数学建模之非线性规划

1. 定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
一般形式:
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2. 非线性规划的 Matlab 解法

Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
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lb<=x<=ub
其中 f (x)是标量函数，A,B,Aeq,Beq是相应维数的矩阵和向量,C(x),Ceq是非线性向量函数。
Matlab中的命令是 [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,nonlcon,options)
例:求下列非线性规划

3. 约束极值问题

带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫规划问题。

3.1 二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。
Matlab 中二次规划的数学模型可表述如下：
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Matlab 中求解二次规划的命令是
[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq,lb,ub,x0,options)
（具体细节可以参看在 Matlab 指令中运行 help quadprog 后的帮助）。
例: 求解二次规划

h=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
a=[1,1;4,1];
b=[3;9];
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

求得x1=1.9500,x2=1.0500,minf(x)=-11.0250

3.2 罚函数法

利用罚函数法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，因而也称这种方法为序列无约束小化技术，简记为 SUMT .
罚函数法求解非线性规划问题的思想是，利用问题中的约束函数作出适当的罚函数，由此构造出带参数的增广目标函数，把问题转化为无约束非线性规划问题。主要有两种形式，一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法，下面介绍外罚函数法。
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例: 求下列非线性规划

(1)定义增广目标函数,编写 M 文件 test.m

function g=test1(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*min(x(1),0)-M*min(x(2),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*abs(-x(1)-x(2)^2+2);

或者是利用Matlab的求矩阵的极小值和极大值函数编写test.m如下：

function g=test2(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*sum(min([x';zeros(1,2)]))-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*abs(-x(1)-x(2)^2+2);

也可以修改罚函数的定义，编写test.m如下

function g=test3(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*min(min(x),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*(-x(1)-x(2)^2+2)^2;

(2)求增广目标函数的极小值,在 Matlab 命令窗口输入

[x,y]=fminunc('test3',rand(2,1))

由于是非线性问题,很难求得问题的全局最优解,因此只能求得局部最优解,并且每次运行结果都不一样.

注:(1)如果非线性规划问题要求实时算法,则可以使用罚函数方法,但计算精度较低;
(2)如果非线性规划问题不要求实时算法,但要求精度高,则可以使用Lingo软件编程求解或使用Matlab的fmincon命令

Matlab优化工具箱中的optimtool命令提供了优化问题的用户图形界面解法。 optimtool可应用到所有优化问题的求解，计算结果可以输出到Matlab工作空间中。
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