Algorithm之PrA：PrA之IP整数规划(包括0-1整数规划)算法经典案例剖析+Matlab编程实现

Algorithm之PrA：PrA之IP整数规划算法经典案例剖析+Matlab编程实现

分枝定界法

对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由 LandDoig 和Dakin 等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。

基本思想：设有最大化的整数规划问题 A ，与它相应的线性规划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合 A的整数条件，那么B的最优目标函数必是 A的最优目标函数z*的上界，记作z上；而 A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z下。分枝定界法就是将B的可行域分成子区域的方法。逐步减小z 上和增大z下，最终求到z*。

整数规划例题

用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：首先，将要求解的整数规划问题称为问题 A ，将与它相应的线性规划问题称为问题B 。

1、求解下述整数规划

(1)、先利用LP思路求出最优解

(2)、利用IP思路分析解，先对x1进行分枝、定界

(3)、先对B1进行分枝、定界

(4)、还要对B2进行分枝、定界

0-1整数规划实例

1、投资场所的选定——相互排斥的计划

解：解题时先引入0 −1变量xi，并进行问题转换

2、引入0 −1变量y，来解决相互排斥的约束条件

3、扩展：利用0-1变量来解决m 个互相排斥的约束条件
如果有m 个互相排斥的约束条件

4、关于固定费用的问题（Fixed Cost Problem）

某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降低；反之，如选定的生产方式投资低，将来分配到每件产品的变动成本可能增加。所以必须全面考虑。今设有三种方式可供选择，令

5、举例说明一种解0 −1型整数规划的隐枚举法

6、蒙特卡洛法求解非线性整数规划

(1)、首先编写M 文件mente.m 定义目标函数f 和约束向量函数g，程序如下

function [f,g]=mengte(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-...
x(4)-2*x(5);
g=[sum(x)-400
x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800
2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200
x(3)+x(4)+5*x(5)-200];

(2)、编写M文件mainint.m如下求问题的解

rand('state',sum(clock));
p0=0;
tic
for i=1:10^6
    x=99*rand(5,1);
x1=floor(x);x2=ceil(x);
[f,g]=mengte(x1);
if sum(g<=0)==4
    if p0<=f
        x0=x1;p0=f;
    end
end
[f,g]=mengte(x2);
if sum(g<=0)==4
    if p0<=f
        x0=x2;p0=f;
    end
end
end
x0,p0
toc

7、Matlab求解指派问题等0 −1整数规划问题

解：编写 Matlab 程序如下：

c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5
    8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];
c=c(:);
a=zeros(10,25);
for i=1:5
    a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;
    a(5+i,i:5:25)=1;
end
b=ones(10,1);
[x,y]=bintprog(c,[],[],a,b);
x=reshape(x,[5,5]),y