数据结构总结 之 递归

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递归

定义

• 若一个对象部分地包含它自己, 或用它自己给自己定义, 则称这个对象是递归的；若一个过程直接地或间接地调用自己, 则称这个过程是递归的过程。

三种递归情况

• 定义是递归的
  
  • 阶乘函数：n=0，n! = 1；n>=1，n! = n*(n-1)!
  • 斐波那契数列：n<=1，fib(n) = n；n>1，fib(n) = fib(n-1) + fib(n-1)
• 数据结构是递归的
  
  • 单链表：递归找某一值为x的节点，若节点值为x，则返回节点数值；若节点值不为x，则递归找节点。
• 问题的解法是递归的
  
  • 汉诺塔问题：有ABC三根柱子，A上有一些盘子，按从小到大顺序放置，把A上的盘子移到C上，并且要保证盘子也是按照从小到大顺序放置。求这个移动的过程。如果 n = 1，则将这一个盘子直接从 A 柱移到 C 柱上。否则，执行以下三步：
    ① 用 C 柱做过渡，将 A 柱上的 (n-1) 个盘子移到 B 柱上：
    ② 将 A 柱上最后一个盘子直接移到 C 柱上；
    ③ 用 A 柱做过渡，将 B 柱上的 (n-1) 个盘子移到 C 柱上。

递归过程改为非递归过程

• 递归过程效率低，重复计算多，改为非递归过程的目的是提高效率
• 单向递归和尾递归可直接用迭代实现其非递归过程
• 其他情形必须借助栈实现非递归过程

应用1：n皇后问题

• 在 n 行 n 列的国际象棋棋盘上，若两个皇后位于同一行、同一列、同一对角线上，则称为它们为互相攻击。n皇后问题是指找到这 n 个皇后的互不攻击的布局。
• 解决：
  
  • 在第 i 行放皇后时，需要在列的方向从 0 到 n-1 试探 ( j = 0, …, n-1 )
  • 在第 j 列放一个皇后，如果在列、主对角线、次对角线方向有其它皇后，则出现攻击，撤消在第 j 列安放的皇后。如果没有出现攻击，在第 j 列安放的皇后不动，递归安放第 i+1行皇后。

应用2：骑士问题

• 骑士问题是在一个N*N的棋盘上，给骑士一个起始坐标，骑士必须从起点开始行走，把棋盘上的每一点都走过。骑士的走法就是国际象棋中的骑士走法。
• 解决：
  
  • 将八个可能的移动方向使用数组来存放
  • 在移动之前必须另外判断下一步有没有走出了边界
  • 当骑士走到某一位置时，下一个移动的位置是八个位置中的其中一个，从0这个方向开始走，如果新位置未走过的话，就可以移到新位置上，并记录下所走的步数，如果新位置已被走过，则继续找下一个方向。
  • 递归的终止条件为：骑士所走的步数等于N*N
    （由于是N * N的棋盘，所以骑士必须走N²-1步，才能将棋盘上的每一点都走过，即棋盘的大小排除一开始的起始位置那一点。因此若设起点为第一步，则全部走完时最后一步的步数会刚好是棋盘的大小N * N，所以，骑士所走的步数等于N * N，则代表骑士已经全部走完。）

应用3：十进制转换为八进制：

• 令递归函数为fun，要转换的数为num
• 如果 num<=8，返回 num
• 然后递归求 num / 8 的返回值，用这个值 乘以 10 加上 num 模 8 就是最后的结果

 if(num<=8) return num;
 return num % 8 + 10 * func(num/8);