最长公共子序列
Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, LCS(m,n)表示它们的最长公共子序列长度。L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。
令x表示子序列考虑最后一项
（1） t = Ax ＝ By
那么它们L(x，y)的最后一项一定是这个元素
此时：LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1
（2） Ax ≠ By
仍然设t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。
则t ≠ Ax和t ≠ By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值！
如果t ≠ Ax，
则：L(x, y)= L(x - 1, y)
LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)
如果t ≠ By,
L(x, y)= L(x , y - 1)
LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)
可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
所以：
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
(3) 0 如果x = 0或者y = 0（一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列）
到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。
0 1 2 3 4 5 j
i 0
1
2
3
4
i=j=0时，dp[i][j]=0
A[i]=B[j]时(从1计数)，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
A[i]!=B[j]时，dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])
int findLCS(string A, int n, string B, int m) {
int table[n + 1][m + 1];
for(int i=0;i<=n;i++)
table[i][0]=0;
for(int i=0;i<=m;i++)
table[0][i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(A[i-1]==B[j-1])
table[i][j]=table[i-1][j-1]+1;
else
table[i][j]=max(table[i][j-1],table[i-1][j]);
}
}
return table[n][m];
}最长公共字串
明白了最长公共子序列，这个问题就很好理解了，重要的是找到转移方程：
class LongestSubstring {
public:
int findLongest(string A, int n, string B, int m) {
int res=0;
int c[n+1][m+1];
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
if(i==0||j==0)
c[i][j]=0;
else if(A[i-1]==B[j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
res=max(c[i][j],res);
}
else
c[i][j]=0;
}
}
return res;
}
};机器人走方格
有一个XxY的网格，一个机器人只能走格点且只能向右或向下走，要从左上角走到右下角。请设计一个算法，计算机器人有多少种走法。
解题思路：
对于当前的每一步F(x , y)，一定是从F(x-1 , y)或F(x , y-1)走过来的。
假设机器人走到F(x-1 , y)有m种走法，走到F(x , y-1)有n种走法，则走到F(x , y)有m+n种走法。
这就是问题核心。
关于初值问题：
即：只有一行或者只有一列时，怎么走？
走法当然是只有一种。所以初始化F(0 , i)与F(j, 0)为1
法一：递归
int countWays(int x, int y) {
//递归
if(x==0&&y==0)
return 0;
else if(x==1||y==1)
return 1;
else
return countWays(x-1,y)+countWays(x,y-1);
}很好理解，可惜效率不高，当方格数变多时，耗时过多。
所以——铛铛铛铛！所有的递归都可以改写成循环（就看你会不会写，哼~）。
法二：动态规划
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector <int> > F(m ,vector<int>(n,1));
for(int i=1;i<m;i++)
{
for(int j=1;j<n;j++)
{
F[i][j]=F[i-1][j]+F[i][j-1];
}
}
return F[m-1][n-1];
}分析：vector二维数组保存走到每个方格的走法数
双层for循环在更新走到每个方格的走法数
写到这里，脑海中灵光一闪！爬楼梯不也是这么回事嘛！
爬楼梯问题
你正在爬楼梯，需要n步才能达到顶峰。每次只能爬1或2步。 你可以通过多少不同的方式登顶？
动态规划法：
int climbStairs(int n) {
int dp[n + 1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}当然这个也可以用递归，太简单就不写了。
总结：
嘤嘤嘤，这是第一次对动态规划问题有了一定理解。
再接再厉！我要加油！
参考来自：https://blog.csdn.net/lz161530245/article/details/76943991