bzoj 3043 IncDec Sequence 差分

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解法

模型转化非常精妙

• 将区间$[l,r]+v$，可以变成在差分数组第$l$个位置$+v$，在第$r+1$个位置$-v$
• 那么，我们可以考虑将问题转化一下，变成给定$n-1$个数，每一次可以将某一个数$-1$或$+1$，另一个数可以不操作，否则做和第一个数相反的操作。问至少多少次这个数列变成全0
• 考虑一个贪心的解法，显然是每一次对一个负数$+1$，对一个正数$-1$，如果不存在对应的正数或负数，直接自己加或减变成0
• 显然，这个方法能保证答案是最小的，而且每一次操作都可以对应一个区间的加减
• 那么，我们设$a=\sum_{i=2}^n |d_i|\ (d_i<0),b=\sum_{i=2}^n d_i\ (d_i>0)$
• 根据上述贪心算法，显然最少的操作次数就是$max(a,b)$
• 那么，我们再考虑一下最后会出现多少种不同的序列。显然，在正数或负数全部被消去后，剩下的可以随意安排给$d_{n+1}$或者$d_1$，所以方案数就是$|a-b|+1$
• 时间复杂度：$O(n)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 100010
using namespace std;
template <typename node> void chkmax(node &x, node y) {x = max(x, y);}
template <typename node> void chkmin(node &x, node y) {x = min(x, y);}
template <typename node> void read(node &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
int a[N], b[N];
main() {
    int n; read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    for (int i = 2; i <= n; i++) b[i] = a[i] - a[i - 1];
    int s1 = 0, s2 = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        if (b[i] > 0) s1 += b[i]; else s2 -= b[i];
    cout << max(s1, s2) << "\n" << abs(s1 - s2) + 1 << "\n";
    return 0;
}