matlab的使用(七)特征值、特征向量与对角化

常用命令

命令	功能
eig(A)	以列向量形式返回方阵 A 的特征值
[u,v] = eig(A)	返回两个矩阵 u 和 v，矩阵 v 为矩阵 A 的特征值所构成的对角阵，矩阵 u 的列为矩阵 A 的单位特征向量，它与 v 中的特征值一一对应
poly(A)	求矩阵 A 的特征多项式
solve(d)	求代数方程的符号解
roots(A)	求多项式 A 的零点
eigshow(A)	用 matlab 演示矩阵 A 的特征向量几何意义

例1. 求特征多项式和特征值

求 3 阶方阵 A =$\left[ \begin{matrix} 11 & 12 & 13\\ 14 & 15 & 16\\ 17 & 18 & 19 \end{matrix} \right]$ 的特征多项式，并求特征值

方法一：

A = [11 12 13;14:16;17:19];  % 输入矩阵 A
PA = poly(A);       % A 的特征多项式
v = roots(PA);      % 特征值

方法二：

A = [11 12 13;14:16;17:19];
eig(A);   % 求特征值

例2. 求特征多项式和特征值，并分析几何含义

求矩阵 A = $\left[ \begin{matrix} 0.5 & 0.25 \\ 0.25 & 0.5 \end{matrix} \right]$，的特征值与特征向量，用 matlab 分析特征向量的几何含义

方法一：用定义

syms k;   % 定义 k 为符号变量
A = [0.5 0.25;0.25 0.5];    % 输入矩阵
B = A - k*eye(length(A));   % 构造矩阵 B = A - KI
d = det(B);     % 计算 B 行列式
v = solve(d);     % 求特征多项式的根
lamdal = eval(v)   % 化符号解为数值解

方法二：用 matlab 命令

A = [0.5 0.25;0.25 0.5];
[Q,d] = eig(A);    % 求矩阵 A 的特征值和特征向量
eigshow(A);    % 特征值和特征向量的几何含义

例3. 化对角阵

化方阵 $\left[ \begin{matrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{matrix}\right]$ 为对角阵

A = [2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5];
[d,v] = eig(A)

由输出结果可得：令 P = $\left[ \begin{matrix} 0.1293 & 0.9339 & -0.3333 \\ 0.6681 & -0.3304 & -0.6667 \\ 0.7327 & 0.1365 & 0.6667 \end{matrix}\right]$，
则有 P$^-$$^1$*A*P = v = $\left[ \begin{matrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 10 \end{matrix}\right]$