有趣的对话

数学是干什么的?

特征值和特征向量

特征值和特征向量到底是干什么的?为啥这样写就能算出来你想要的特征值和特征向量？

1.预备知识

2.直观的描述他俩的意义

有的向量线性变换后离开了原来的张成空间

还有的向量留在了以前的张成空间，只是被拉伸了。其他向量都是旋转了

有向量旋转了，有向量只是拉伸。只是拉伸的就是特征向量，而拉伸长度就是特征值。

3.用途举例

特征向量可以帮我们找到旋转轴，红色为其旋转轴，也是特征向量。注意旋转过程中向量大小没变。

特征值大小为1，因为三维空间上的任何向量并没有拉伸。但一般的线性变换倒经常拉伸向量。

如下，用特征向量描述旋转简单多了

而用矩阵描述则很麻烦

4.更好的理解线性变换的方式

更好的理解线性变换的方式不是通过变换的坐标系

更好的方式是通过特征值和特征向量

原坐标系下的某些向量

对应的线性变换后的向量,明显被拉伸了

5.求解特征值与特征向量

如果理解了特征值和特征向量的几何意义，那么下面的公式顺理成章

化简如下，

当张成空间不降维时，输入向量和输出向量一一对应,所以v向量只能为零向量；

当张成空间降维时，会多对1，所以v向量至少有一个(但是解出的向量是共线的)。

例如A-入I= $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4& 2 \end{pmatrix}$ ,这时化简得2x+y=0; 所以共线。

要想有非零解，得降维，行列式得等于0，这时变换的基向量会共线

特征值可能有两个，所以会有两条不共线的特征向量

入=2的情况，所有解都在一条直线上

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

在减去特征值的左边矩阵的作用下，特征向量会变换到零向量。

在变换矩阵作用下，特征向量拉伸2倍。

可以发现，特征向量在俩变换矩阵的效果是不同的

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.一定存在特征值吗?

几何上看，如下图的90度旋转，变换前

变换后，所有向量都旋转了

计算其行列式，表明没有特征值

7.属于某个特征值的特征向量一定共线吗?

剪切变换计算特征值为1，所有特征向量都在一条直线上

伸缩变换的所有特征值都是2，但是所有向量都是特征向量(特征向量是原空间的)，这些向量不共线

8.特征基

就是基向量是特征向量，包含特征基的变换有个特点，就是是个对角阵。而对角线上的值就是特征值

对角矩阵变换是把老的基向量和特征值相乘就是新的基向量，所以经过连续那么多次变换，基向量就是幂次方。

但是基向量同时也是特征向量发生的概率不是太大，我们可以把一般的变换再转成是特征基的变换

9.向特征基变换转化

如果你的特征向量多到能够刻画全部的张成空间(张成空间是指矩阵列向量刻画的空间)。那么就可以转成

过程

基变换就是改变了基，就是一般的线性变换；而在另一坐标系中表达当前坐标系的变换是基变换矩阵的逆×变换矩阵×基变换矩阵

取出想做新基的基向量的坐标作为基变换矩阵

乘一次矩阵变一次基向量，从右到左乘了三次: 就是第一次新基第二次新基第三次新基

乘出来之后，构成新的基向量。这个矩阵必然是对角的，对角元是中间矩阵的特征值。

从几何上解释为啥是这样? 从右到左开始，乘以基变换矩阵后(即我们语言描述的詹尼佛基向量)，新基就是基变换矩阵描述的基；乘以中间的变换矩阵再乘以基变换矩阵的逆后(先在我们的空间变换了基向量，又回到詹尼佛语言描述的詹尼佛基向量)，因为变换矩阵对特征向量的作用就是扩大特征值倍数，所以在詹尼佛空间就只是扩大三倍詹尼佛基向量，所以最后的变换矩阵为【下图=右边】。

下面画的线的基向量为詹尼佛空间，不是我们的空间。