方阵的特征值与特征向量

定义: 设$A$是$n$阶方阵, 如果数$\lambda$和非零向量$x$使关系式

$$Ax = \lambda x$$
成立, 那么, $\lambda$称为方阵 $A$的特征值, 非零向量 $x$称为 $A$的对应于特征值 $\lambda$的特征向量. 上式也可以写为:
$$(Ax-\lambda E)x=0$$
这个是 $n$个未知数和 $n$个方程的齐次线形方程组. 它有非零解的充要条件是, 系数行列式为0, 即:
$$|A-\lambda E| = 0$$
上面以 $\lambda$为未知数的一元 $n$次方程, 称为方阵 $A$的特征方程, 其行列式, 称为方阵 $A$的特征多项式. 显然 $A$的特征值就是特征多项式的解, 特征方程在复数域内恒有解, 其个数为方程的次数, 因此 $n$阶方阵有 $n$个特征值.

Reference:
1. 线性代数 同济大学数学教研室 高等教育出版社