数学分析中极限、连续、可导、可微、偏导数的存在与连续、混合偏导数的存在与连续、方向导数的定义及关系整理
一、一元：
1.极限：
1）数列极限：
设${a_n}$为数列，a为定数.若对任给的正数$\varepsilon$,总存在正整数N，使得当n>N时，有\[{|a_{n}-a|}<{\varepsilon},\] 则称数列${a_{n}}$收敛于a,定数a 称为数列${a_n}$的极限，并记作$\lim_{n\to\infty}{a_n}=a$, 或$a_n\to a(a\to\infty)$, \\ 读作“当n趋于无穷大时，${a_n}$的极限等于a或$a_n $趋于a”.
2）函数极限：
定义1($\infty 定义$)：设f为定义在$[a,\infty)$上的函数，A为定数。若对任给的${\varepsilon}>{0}$,存在正数$M({M}\ge{a})$,使得当$x>M$时有\[{|f(x)-A|}<{\varepsilon}\],则称函数$f$当$x$趋于$+\infty$ 时以$A$为极限，记作\[ \lim_{x\to + \infty}=A 或 f(x)=A (x\to + \infty)\]
定义2：设函数$f$在点$x_0$的某个空心领域$\mathring{U}(x_0;\delta^')$内有定义,$A$为定数.若对任给的$\vareplison>0$,存在正数$\delta(\delta<\delta^')$,使得当$0<|x-x_0|<\delta$时有\[ {|f(x)-A|}<{\varepsilon},\] 则称函数$f$当$x$趋于$x_0$时以$A$为极限，记作\[\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A 或 f(x)\to A(x\to x_0).\]
归结原则（海涅定理）：$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A \Longleftrightarrow $对任何$x_n\to x_0 (n\to\infty)$有$\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A.$
2.连续：设函数$f$在某$U(x_0)$上有定义。若\[\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0),\] 则称f在点$x_0$连续.
也等价于 $\lim_{\Delta x\to\infty}\Delta y=0.$
也可由$“\varepsilon-\delta” $语言叙述，即对任给的$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得当$|x-x_0|<\delta$时有${|f(x)-f(x_0)|}<{\varepsilon}$,称函数$f$在点$x_0$连续.
注：由“f在点$x_0$连续”意味着极限运算与对应法则的可交换性 即：$\lim_[x\to x_0]{f(x)}=f(\lim_{x\to x_0}{x})$
3.导数：设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若极限 \[lim_{x\to x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]存在，则称函数$f$在点$x_0$处可导，并称该极限为函数$f$在点$x_0$处的导数，记作 $f'(x_0).$
4.微分：设函数$y=f(x)$定义在$x_{0}$某邻域$U(x_0)$上.当给$x_{0}$一个增量$\Delta{x},x_{0}+\Delta{x}\in{U(x_{0})}$时，相应的得到函数的增量为
\[\Delta{y}=f(x_{0}+\Delta{x}+)-f(x_{0}\]
如果存在常数$A$，使得$\Delta {y}$能表示成\[ \Delta{y}=A\Delta{x}+o(\Delta{x})，\]则称函数$f$在点$x_{0}$可微，并称$A\Delta{x}$为$f$在点$x_{0}$处的微分，记作$dy|_{x=x_{0}}=A\Delta{x} $ 或 $df(x) |_{x=x_{0}}=A\Dealta{x}$
连续(极限存在且等于函数值） $\Longlleftarrow$ 可导 (定义式极限存在)$\Longleftrightarrow$可微
二、多元函数（以二元为例）
1.极限：
定义1：设$f$为定义在${D}\subset{R^{2}}$上的二元函数，$P_{0}$为$D$的一个聚点，$A$是一个确定的实数.若对任给整数$\varepsilon$,总存在某整数$\delta$,使得当${P}in{{\mathring{U}(P_0;\delta)}\cap{D}}$时，都有\[{|f(P)-A|}<{\varepsilon}\],则称$f$在$D$上当$P\to{P_0}$时以$A$为极限，记作：\[ \lim_{{P}\to{P_0}\\P\in{D}}{f(P)}=A.\]
二维时 坐标表示为 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{f(x,y)}=A.$
定义2：设D为二元函数f的定义域，$P_0(x_0,y_0)$是D的一个聚点。若对任给的正数M，总存在点$P_0$的一个$\delta $邻域，使得当$P(x,y)\in{{{\mathring{U}(P_0;\delta)}\cap{D}}$时，都有$f(P)>M$,则称$f$在$D$上当$P\to{P_0}$时，存在非正常极限$+\infty$,记作$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=+\infty.$
或 $\lim_{p\to{P_0}}f(P)=+\infty.$
上述极限讨论为以任何方式趋近于特定点，称为重极限.
累次极限：
定义:设$f(x,y),(x,y)\in{D},D$在$x$轴，$y$轴上的投影分别为$X、Y$,即\[X={x|(x,y)\in{D}}, Y={y|(x,y)\in{D}},\]$x_0,y_0$分别是$X，Y$的聚点，若对每一个$y\in{Y}，$存在极限$\lim_{x\to{x_0}}f(x,y),$它一般与$y$有关，故记作\[ \varphi(y)=\lim_{x\to{x_0]}f(x,y),\]
如果进一步还存在极限\[L=\lim_{y\to{y_0}}\varphi(y),\]
则称此极限L为$f(x,y)$先对$x(\to{x_0}),$后对$y(to{y_0})$的累次极限，记作\[L=\lim_{y\to{y_0}}\lim_{x\to{x_0}}f(x,y).\]
类似可定义$K=\lim_{x\to{x_0]}\lim_{y\to{y_0}}f(x,y).$
重极限与累次极限的关系：
某点$P_0(x_0,y_0)$存在重极限与累次极限(之一即可),则它们必相等;
$\Longrightarrow $
1.累次极限、重极限都存在则三者必相等
2.两个累次极限存在但不相等则重极限必不存在.
例1: $f(x,y)=frac{xy}{x^2+y^2}.$
例2: $f(x,y)=frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}.$
例3: $f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x}.$
2.连续：
定义：设$f$为定义在点集$D\subset{R^2}$上的二元函数，$P_0\in{D}$($P_0$为聚点或孤立点)对于任给的正数$\varepsilon$,总存在相应正数$\delta $，只要$P\in{U(P_0;\delta)\cap{D}}，$就有\[|f(P)-f(P_0)|<\varepsilon,\]\
则称$f$关于集合$D$在点$P_0$连续.
增量形式:\[\lim_{(\Delta{x},\Delta{y})\to(0,0)\]\[(x,y)\in{D}}\Delta{z}=0.\] $\Longrightarrow$ $f$在点$P_0$连续.
3.可微：定义：设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$上有定义，对于$U(P_0)$中的点$P(x,y)=(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})$,若函数f在点$P_{0}$处的全增量\Delta{z} 可表示为\[ \begin{align*} \Delta{z}&=f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)\\&=A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\rho)\\&=A\Delta{x}+B\Delta{y}+\alpha\Delta{x}+\beta\Delta{y}\\ \lim_{(\Delta{x},\Delta{y})\to(0,0)}\alpha=\lim_{(\Delta{x},\Delta{y})\to(0,0)}\beta=0.\ end{align*}\]
其中A，B是仅与点$P_0$有关的常数，$\rho=sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}$\qquad,o(\rho)是较$\rho$高阶的无穷小量,则称函数f在点$P_0$可微.并称关于$\Delta{x},\Delta{y}$的线性函数$A\Delta{x}+B\Delta{y}$为函数$f$在点$P_0$的全微分，记作$$dz|_{P_0}=df(x_0,y_0)=A\Delta{x}+B\Delta{y}$$
4.偏导数：设函数$z=f(x,y),(x,y)\in{D}.$若$(x_0,y_0)\in{D}$,且$f(x,y_0)$在$x_0$的某邻域内有定义，则当极限\[\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{Delta{_x}f(x_0,y_0)}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}to\{0}}\frac{f(x_0+\delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta{x}}\]存在时，称这个极限为函数$f$在点$(x_0,y_0)$关于$x$的偏导数，
记作 $f_{x}(x_0,y_0)$或$z_{x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial x}|_(x_0,y_0),\frac{\partial z}{\partial x}_(x_0,y_0).$
$$偏导数连续\longrightarrow可微\longleftrightarrow偏导数存在$$
5.方向导数：
定义：设三元函数$f$在点$P_{0}(x_0,y_0,z_0)$的某邻域$U(P_0)\subset{R^3}$有定义，$l$为从点$P_{0}$出发的射线，$P(x,y,z)$为$l$上且包含于$U(P_0)$内的任一点，以$\rho$表示$P$与$P_0$两点间的距离.若极限\[\lim_{\rho\to{0^+}}\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho}=\lim_{\rho\to{0^+}}\frac{\Delta_{l}f}{\rho}\]存在，则称此极限为函数$f $在点$P_0$沿方向$l$的方向导数，记作\[frac{partical f}{partical l}|_{P_0},f_{l}(P_0)或f_{l}(x_0,y_0,z_0).\]
若$f$在$P_0$可微，则在$P_04沿任一方向$l$的方向导数都存在，且$f_{l}(P_0)=f_{x}(P_0)\cos{\alpha}+f_{y}(P_0)\cos{\beta}+f_{z}(P_0)\cos{\gamma},$其中$\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma $为方向$l$的方向余弦.
引入 梯度(gradient)：$grad=(f_{x}(P_0),f_{y}(P_0),f_{z}(P_0)).$
又$l$可单位化为$l_0=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) $
进而 $f_{l}(P_0)=gradf(P_0)\cdot{l_0}=|gradf(P_0)|\cos\theta$
6.混合偏导数连续必相等.(构造函数+中值定理）