盒子和小球之二：N个有差别的盒子（1<=N<=20）。你有A个红球和B个蓝球。0 <= A <= 15, 0 <= B <= 15。球除了颜色没有任何区别。你可以将球放进盒子。一个盒子可以同时放进两种球，也可以只放一种，也可以空着。球不必全部放入盒子中。编程计算有多少种放置球的方法。
考虑动态规划。一个盒子可以同时放进两种球，但是每个盒子我们可以对他进行很多操作，所以也就可以近似看成每个盒子可以放无数球，但是这并不重要。设f[i][j][k]表示我们当前放到第i个盒子，已经放了j个红球，k个篮球的状态方案数。（因为我们要求在状态设计的时候要求顾及到题目中的重要量，而这个状态恰好达到了这点）另外，由于本题数据范围较小，所以我们思考的不用太复杂。
则我们可以理所当然地想到转移：f[i][j][k]=sigmaf[i-1][j-x][k-x],其中x是我们枚举的在当前盒子中放几个。
时间复杂度为O（n*A^2*B^2)，可以轻松通过。
目标答案显然我们可以累加f[n][i][j]，枚举ij。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 //complexity n*A^2*B^2 7 int n,A,B; 8 ll ans,f[25][20][20]; 9 10 int main() 11 { 12 scanf("%d%d%d",&n,&A,&B); 13 f[0][0][0]=1;//初值，很重要 14 for(int i=1;i<=n;i++) 15 for(int j=0;j<=A;j++)//注意放几个从0开始枚举 16 for(int k=0;k<=B;k++) 17 for(int a=0;a<=j;a++) 18 for(int b=0;b<=k;b++) 19 f[i][j][k]+=f[i-1][j-a][k-b]; 20 for(int i=0;i<=A;i++) 21 for(int j=0;j<=B;j++) 22 ans+=f[n][i][j];//球不必全部放入盒子中 23 printf("%lld",ans); 24 return 0; 25 }
盒子与小球之三：有N个相同的球，M个不同的盒子，每个盒子最多放K个球 ，请计算将这N个球全部放入盒子中的方案数模1000007后的结果 ，N<=5000，M<=5000。
我们可以继续考虑动态规划，相似的状态与转移。设f[i][j]为当前放到第i个盒子，已经放了j个球的方案数。显然有转移：
f[i][j]=sigmaf[i-1][j-k]，其中k枚举在当前盒子里放了几个。但由于本题数据比上一题大很多，这样的n^3转移会超时。状态设计的没有什么可以优化的了，考虑在转移优化。我们仔细观察转移方程，发现我们要加的其实是连续的一段，这就启示我们可以用前缀和优化，在转移前提前算出在i-1状态下的j前缀和。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define maxn 5090 4 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 8 int n,m,k; 9 ll moder=1000007,f[maxn][maxn],sum[maxn]; 10 11 int main() 12 { 13 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 14 for(int i=0;i<=m;i++) f[i][0]=1; 15 for(int i=1;i<=m;i++) 16 { 17 for(int j=1;j<=n;j++) 18 (sum[j]=sum[j-1]+f[i-1][j])%=moder; 19 for(int j=1;j<=n;j++) 20 { 21 //if(i==1&&j==1) printf("~~~~%d %d %d\n",sum[j],sum[max(j-k-1,0)],max(j-k-1,0)); 22 if(j-k-1<0) (f[i][j]=sum[j]+moder)%=moder; 23 else (f[i][j]=sum[j]-sum[j-k-1]+moder)%=moder; 24 //printf("%d %d:=%d\n",i,j,f[i][j]); 25 } 26 } 27 printf("%lld",f[m][n]); 28 return 0; 29 }
盒子与小球之四：给定N个各不相同的小球，和M个不同的BOX，有多少种不同的放球方法，使得每个BOX里的小球个数不小于Ｋ。N,M,K均小于15。
我们还可以继续考虑动态规划。设f[i][j]表示当前放到第i个盒子，已经放了j个球的方案数。小球个数不小于k，只需要在转移时从k开始枚举。由于本题小球各不相同，所以我们需要组合数。本题数据在15，非常小可以递推预处理出组合数。于是有转移如下：
f[i][j]=sigmaf[i-1][j-k]*C(n-(j-k),k).
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 8 int n,m,jue; 9 ll f[20][20],C[20][20]; 10 11 ll Combines() 12 { 13 for(int i=0;i<=15;i++) C[i][0]=1,C[i][i]=1; 14 for(int i=1;i<=15;i++) 15 for(int j=1;j<=i;j++) 16 C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]; 17 } 18 19 int main() 20 { 21 Combines(); 22 while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&jue)!=EOF&&n!=0) 23 { 24 memset(f,0,sizeof f); 25 for(int i=jue;i<=n;i++) f[1][i]=C[n][i]; 26 for(int i=2;i<=m;i++) 27 for(int j=jue;j<=n;j++) 28 for(int k=jue;k<=j;k++) 29 f[i][j]+=C[n-(j-k)][k]*f[i-1][j-k]; 30 printf("%lld\n",f[m][n]); 31 } 32 return 0; 33 }