如何求解三次方程

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背景

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说到方程求解，我想大家都会想到一元二次方程：

$$ax^2 + bx + c = 0$$
可使用 配方法，求得根为：
$$x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a}$$

当$b^2 - 4ac > 0$时，方程有两实根
当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有两相同实根
当$b^2 - 4ac < 0$时，没有实根，但在复数上有两复根

当二次方程求解成功之后，人们开始转向研究解决三次主程的方法。然而在解决三次方程时，人们的进展没有想像中那么快。但人们还是找到了一些特殊三次方程的解决，于是乎，学术界和民间纷纷开展了一场解决三次方程的比赛。也有人找到了通用的解方程办法，但是秘而不宣，造成三次方程的解决一直没有告知于众。

数学界解三次方程这段历史非常有历，在这些就不详细说明了，有兴趣的读者可以网上google一下，可以找到不错的史料。

为了降低阅读的难度，本文先介绍一种特殊三次方程的解决，看看如何求解决这种特殊的三次方程。

特殊三次方程求解

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卡尔丹首先突破的三次方程是没有二次项的三次方程，它的形式如下：

$$x^3 + px + q = 0$$

那如何解这个新方程呢？卡尔丹想到很奇妙的方法，令$x=u+v$，代入原方程，化简后得：

$$u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v)+q = 0$$

然后，再对u和v增加一个约束：$3uv=-p$，就可以将$(u+v)$项消灭，从而得到：

$$u^3 + v^3 + q = 0$$

由增加的约束可得$v=-\frac {p} {3u}$，代入得：

$$u^3 + (-p/3u)^3 + q = 0$$

然后两边同时乘以$27u^3$，整理移项得：

$$27u^6 + 27qu^3 - p^3 = 0$$

显然，此方程可以看作是$u^3$为变元的二次方程，根据二次方程的求根公式，马上可以得到：

$$u^3 = -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}$$

从这里开始就犯难了，这里遇到两个问题：
1. 如果$\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27} < 0$，则$\sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}$是复数。
2. 从$u^3$中求解$u$，似乎又涉及3次方程求解，它有3个根，而且涉及复数。

为了保证求解过程不产生跳跃性，我们对$\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}$的值分情况讨论。

情况一：$\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27} \ge 0$

因为从$u^3$求解$u$，涉及开3次方，而3次方根却一定涉及到复数，对于没有学习过复变函数的读者来说，会有一定的困难。

即然涉及开3次方，那么我们将$u^3$写到复数形式，同时为了方便做开方运算，使用复数的三角形式。

$$u^3 = -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}} + 0i =( -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}} )(cos 0 + isin 0)$$

根据复数的定义，开3次方，等于模开3次方，而辐解有3个值，即：

$$u = (\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}})(cos \frac {0 + 2n\pi} {3} + isin \frac {0 + 2n\pi} 3)$$
其中 $n = 0, 1, 3$

即

$$u_1 = \sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$
$$u_2 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega$$
$$u_3 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2$$

其中 $\omega = cos \frac {2\pi} 3 + i sin \frac {2\pi} 3 = -\frac 1 2 + {\frac {\sqrt 3} 2}i$

接下来，就可以计算$v$了。 由$3uv = -p$ 得到:

$$v = -\frac {p} {3u}$$

取$u_1 = \sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$

可得

$$v_1 = -\frac p {3\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}}$$ $$= -\frac {p \sqrt[3] { -\frac q 2 \mp \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}} {3(\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}})(\sqrt[3] { -\frac q 2 \mp \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}})}$$ $$= -\frac {p \sqrt[3] { -\frac q 2 \mp \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}}{3\sqrt[3] {\frac {q^2} 4 - (\frac {q^2} 4 + \frac {p^3} {27})}}$$ $$=-\frac {p\sqrt[3] {-\frac q 2 \mp \sqrt {\frac {q^2} 4 + \frac {p^3} {27}}}} {3\sqrt[3] {-\frac {p^3} {27}}}$$ $$= \sqrt[3] { -\frac q 2 \mp \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$

有没有从$u_1$求$v_1$计算过程中，发现这个计算过程很有规律，没有丝毫的复杂性，一切看起来很简洁。

由$u_2 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega$，可得：

$$v_2 = -\frac p {3 (\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega}$$ $$= -\frac p {3 \sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} } (\frac 1 \omega)$$ $$= (\sqrt[3] { -\frac q 2 \mp \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) (\frac 1 \omega)$$ $$=(\sqrt[3] { -\frac q 2 \mp \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2$$

同理，由$u_3 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 \pm \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2$
可得

$$v_3 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 \mp \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega$$

由前面引入$u$和$v$时，有$x = u + v$关系，而在求解过程中发现$u$和$v$分别有6组值，是不是说$x$也有6组值呢？非也，如何细仔观察这6组值，会发现$u$和$v$有对称性，他们加起来一才有3组值，分别是：

$$x_1 = u_1 + v_1 = \sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}+\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$
$$x_2 = u_2 + v_2 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega + (\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2$$
$$x_3 = u_3 + v_3 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2 + (\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega$$

注意：这里的$\sqrt {}$是求算术平方根，运行结果只取正值，而$\sqrt[3] {}$是在实数范围内求3次方根，运行结果为实数结果。

情况二： $\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27} \lt 0$

如果$\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27} < 0$，则开平方根是一个纯虚数，那应该写成：

$$u^3 = -\frac q 2 \pm (\sqrt {-\frac{q^2} {4} - \frac {p^3} {27}})i$$

注意：这个式中的$\sqrt {}$仍然是算术平方根。

为了方便开3次方求解$u$，我们将$u^3$写成它的三角形式，要写它的三角形式。由于$u^3$实部和虚部同时存在，则需要求$u^3$的模和辐角。

$$|u^3| = \sqrt {(-\frac q 2)^2 + (\sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}})^2 } = \sqrt {-\frac {p^3} {27}}$$

接下来要求辐角了，为了避免后续再从三角形式转换成代数形式，这里不对辐解进行求解，直接将它的辐角记为$\theta$ ，满足：

$$-\frac \pi 2 \le \theta \le \frac \pi 2$$
$$cos\theta = \frac {-\frac q 2} {\sqrt {-\frac {p^3} {27}}}$$
$$sin\theta = \frac {\sqrt {-\frac{q^2} {4} - \frac {p^3} {27}}} {\sqrt {-\frac {p^3} {27}}}$$

那么$u^3$可表示为：

$$u^3 = \sqrt {-\frac {p^3} {27}}(cos\theta + isin\theta)$$
从而有：
$$u = \sqrt[3] {\sqrt {-\frac {p^3} {27}}}(cos \frac {\theta + 2n\pi} {3} + isin \frac {\theta + 2n\pi} {3})=\sqrt {-\frac {p} {3}} (cos \frac {\theta + 2n\pi} {3} + isin \frac {\theta + 2n\pi} {3}) (n = 0, 1,2)$$

根据复数的定义：$(cos\alpha + isin\alpha)(cos\beta + isin\beta) = cos (\alpha + \beta) + isin(\alpha + \beta)$，将$u$表达式后面的复数部分拆成两个复数相乘，即：

$$u=\sqrt {- \frac p 3} (cos \frac \theta 3 + isin \frac \theta 3) (cos \frac {2n\pi} {3} + isin \frac {2n\pi} {3}) = \sqrt {- \frac p 3} (cos \frac \theta 3 + isin \frac \theta 3)\omega^n (n = 0, 1,2)$$

怎么样，$\omega$又现身了，求三次方根，永远都少不了$\omega$的身影，正如对负数求平方根一样，永远少不了$i$的身影一样。

为了减少对$\theta$的依赖，我们先消去$\theta$再计算$v$。由于有$\theta$，如何将它变成$\theta$呢，很简单，先做立方运算，再开3次方。即：

$$u = \sqrt {- \frac p 3} (cos \frac \theta 3 + isin \frac \theta 3)\omega^n$$ $$= \sqrt[3] {(\sqrt {- \frac p 3})^3(cos \frac \theta 3 + isin \frac \theta 3)^3} \omega^n$$ $$= \sqrt[3] {\sqrt {- \frac {p^3} {27}}(cos \theta + isin \theta }) \omega^n$$ $$=\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {-\frac {q^2} {4} - \frac {p^3} {27}}}i \omega^n$$

噢，上式中的$\sqrt[3] {-\frac q 2 + \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}}i$又变回了对复数开三次方，但了复数原理的都知道，任一复数开三次方根时，有三个数值，那么这里的具体表示哪一个呢？

答案是任一个都可以，但这个根值选定之后，后面所有$\sqrt[3] {-\frac q 2 + \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}}i$结果都要使用相同的值，才能保证结果是正确的。

好了，下面由$3uv = -p$，从$u$求解$v$：

$$v = -\frac {p} {3u}$$ $$= - \frac {p} {3\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {-\frac {q^2} {4} - \frac {p^3} {27}}}i \omega^n}$$ $$= - \frac {p(\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}i})} {3(\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {-\frac {q^2} {4} - \frac {p^3} {27}}i})(\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}i})\omega^n}$$ $$=-\frac {p(\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}i})} {3\sqrt[3] {\frac {q^2} 4 + (-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27})} \omega^n}$$ $$= - \frac {p(\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}i})} {3\sqrt[3] {-\frac {p^3} {27}}\omega^n}$$ $$= \frac {\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}i}} {\omega^n}$$ $$=(\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}i})\omega^{3-n} (n = 0, 1,2)$$

然后通过$x = u +v$，对$x$做运行有：

$$x = u + v = \sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {-\frac {q^2} {4} - \frac {p^3} {27}}}i \omega^n + (\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {-\frac {q^2} 4 - \frac {p^3} {27}}i})\omega^{3-n} (n = 0, 1, 2)$$

为了方便公式统一化，我们将算术平方根$\sqrt {}$符号在复数上做一个扩展，即当n为负数，那么$\sqrt {n}$表示$\sqrt {-n}i$，如果n为正数是，$\sqrt {n}$仍时算述平方根。同样地，对于开3次方根，会有3个根值，但我们使用$\sqrt[3] q$表示为辐角值为$-\frac \pi 2 \le \theta \le \frac \pi 2$的那个根。

那么求根分式可以写成：

$$x = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^n + (\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {\frac {q^2} 4 + \frac {p^3} {27}}})\omega^{3-n} (n = 0, 1, 2)$$

综合两种情况下的求根据公式

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上述两种情况下的求根公式其它是一样的，只是采用不同的写法而已。如果采用3根的表达方式时，写成如下：

$$x_1 = \sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}+\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$
$$x_2 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega + (\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2$$
$$x_3 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2 + (\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega$$

其实还有情况二写成的那种通用公式，如下：

$$x = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} )\omega^n + (\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {\frac {q^2} 4 + \frac {p^3} {27}}})\omega^{3-n} (n = 0, 1, 2)$$

这里的秘密是$\omega^3 = 1$，上述两组公式是等价的。但这个求解公式有些要注意的地方，这也是我第一次看到这个求根公式百思不得其解的原因：

1. 算术平方根运算，它里面是负数时，它的结果是前面带正号的纯虚数 （事实上用前带负号的纯虚数也可以，但后面的同值计算要保持一致）
2. 对于公式中的两个立方根运算，可以取3个结果中的一个，但一个确定后，另一个也随之确定，两者的结果需要满足 $(\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} )(\sqrt[3] {-\frac q 2 - \sqrt {\frac {q^2} 4 + \frac {p^3} {27}}}) = -\frac p 3$，为了方便计算，我们通常使用三次方根运行来表示辐角满足$-\frac \pi 2 \le \theta \le \frac \pi 2$r 那个根

求根公式

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综合上述两种情况，然后定义好二次方根和三次方根运行，求根公式可以表示为：

$$x_1 = \sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}+\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$
$$x_2 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega + (\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2$$
$$x_3 = (\sqrt[3] { -\frac q 2 + \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega^2 + (\sqrt[3] { -\frac q 2 - \sqrt {\frac{q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}) \omega$$